3.5Требования к отчету

Отчет должен содержать:

• Титульную страницу с данными об исполнителе и проверяющем.

• Порядковый номер, номер варианта, тему и цель работы.

• Краткие теоретические сведения об использованных методах вычисления.

• Шаблон решаемой задачи, выполненный в МК.

• Выводы о проделанной работе.

Отчет должен быть оформлен согласно требованиям ГОСТ.

4Лабораторная работа №4 поиск эестркмума функции при наличии ограничений

Цель работы: получить навыки нахождения экстремумов функции при наличии ограничений средствами МК.

4.1Теоретические сведения

16. Метод множителей Лагранжа

Функцией Лагранжа для классической задачи МП называется функция

, (4.1)

где m – число уравнений ограничений, – m-мерный вектор. Элементы вектора , которые находится в функции Лагранжа, называются множителями Лагранжа, – целевая функция, – уравнения ограничений. Данная функция имеет m+n переменных. Для функции Лагранжа получим ее стационарные точки:

, (4.2)

. (4.3)

Подмножество уравнения (4.2) совпадает с системой уравнений ограничений:

.

Тогда в стационарных точках будем иметь, что , т.е. функция Лагранжа совпадает с целевой функцией. Это значит, что если в стационарной точке функция Лагранжа достигает минимума, то и целевая функция достигаем минимума в этой точке с учетом ограничений. Таким образом, можно осуществить переход от задачи на условный экстремум функции к задаче на безусловный экстремум соответствующей функции Лагранжа.

Остается исследовать эти точки на минимум или максимум. Для этого используем производную второго порядка. Если y – скаляр, а не вектор, то вопрос об экстремуме решается следующим образом: если вторая производная меньше нуля, то это максимум; больше нуля – минимум; равна нулю – тогда исследуется третья производная. Значительно сложнее, если y – вектор. В этом случае исследуется квадратичная форма. Если x – n-мерный вектор , то выражение (4.4) называется квадратичной формой. В матричной форме принимает вид (4.5).

, (4.4)

, (4.5)

где a_ij – элементы симметричной матрицы.

В случае определения экстремума в качестве элементов a_ij используются вторые производные:

. (4.6)

Причем для определения знака квадратичной формы используются определители, составленные из коэффициентов a_ij. Так

D₁= a_ij , (4,7)

. (4.8)

Далее применяют правило: если все определители D₁…D_n – положительны, то квадратичная форма Q_x – положительно определенная и в этом случае имеет место минимум в стационарной точке. Если знаки определителей D₁…D_n чередуются, то квадратичная форма является отрицательно определенной и в стационарной точке имеет место максимум.

17. Алгоритм метода поиска экстремумов целевой функции с заданными ограничениями

1. По заданному условию задачи (классической задачи оптимизации) составляют функцию Лагранжа.

2. Решая систему уравнений (4.2) - (4.3) находят стационарные точки функции Лагранжа.

3. Проверяют достаточные условия существования экстремума путем исследования знака квадратичной формы.

4.2Решение задач оптимизации средствами мк

18. Функции Maximize и Minimize

Для поиска значений переменных x₁, x₂, ..., x_n. при которых значение функция f(x₁, х₂, ..., х_n) имеет максимальное или минимальное значение используются функции Maximize и Minimize.

Обе эти функции реализованы достаточно универсальными алгоритмами оптимизации, которые не требуют вычисления производных, что упрощает запись алгоритмов.

Рисунок 4.1 – Документ с решением задачи поиска минимум и максимума функции с учетом ограничений

При описании условия перед блоком решения надо задать начальные значения искомых переменных. Чем они ближе к верному решению, тем быстрее будет получен правильный результат.

Как наглядный пример найдем минимум функции Розенброка с помощью функции minerr.

Функция Розенброка – типовая тестовая функция, поверхность которой напоминает глубокий овраг, что сильно осложняет реализацию многих алгоритмов оптимизации.

Решение задачи на поиск минимума и максимума с применением функций Maximize и Minimize. представлено на рисунках 4.1, 4.2.

Рисунок 4.2. Продолжение документа с решением задачи на поиск минимума функции

Результаты решения сильно зависят от выбора начальных значений переменных и далеко не всегда имеют устраивающую пользователя погрешность.