1 5. Проекция вектора на ось

Проекцией вектора АВ на ось называется число равное длине A’B’ и взятое со знаком «+» если совпадает с направлением оси и со знаком «-» если в разных направлениях .

Проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью.

Следствие.

1)

2)

16. Прямоугольная система координат.

Прямоугольным векторным базисом в пространстве называется тройка единичных взаимно-перпендикулярных векторов, взятых в определенном порядке.

П рямоугольная система координат в пространстве – это совокупность некоторой точки – начало координат и прямоугольного векторного базиса.

OM – радиус вектор.

Координатная форма вектора.

1)

2)

18 расстояние между двумя точками

19. деление отрезка в данном отношении.

20. Скалярное произведение векторов.

Свойства:

1) - переместительный закон

2) – скалярный квадрат

3) - сочетательный закон

4) - распределительный закон

5)

27. Уравнение прямой проходящей через две точки

21. Векторное произведение векторов и его свойства

Три компланарных вектора образуют правую тройку, если с конца С кротчайший поворот от первого А ко второму В виден совершающийся против часовой стрелки, в противном случае тройка называется левой.

Векторным произведением двух векторов А В называется вектор С, обладающий следующими свойствами:

1. С┘А , С┘В

2. │С│=│А│*│В│*sinL L=(A^B)

S=│C│

3. А,В,С образуют правую тройку

Свойства векторного произведения

1. АхВ= -(ВхА) антиперестоновачный закон

2. АхА=0

3. (LA)хB=L(АхВ) сочетательные свойства

4. (А+В)хС=АхС+ВхС Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов

22. Смешанное произведение векторов и его свойства

Смешанным произведением трех векторов а,b,c называется число равное скалярному произведению вектора на вектор с

abc=(a*b)c

Геометрическое смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а,b,с как на сторонах

Если аbс>0 то а,b,с правая тройка

Если аbс<0 то а,b,с левая тройка

Свойства

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей

2. При перестановке соседних сомножителей знак меняется на противоположный

3. Условие компланарности векторов

аbс=0

23. Понятие об уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой, заданой точкой и нормальным вектором

Уравнение линии на плоскости называется такое уравнение с 2мя переменными х,у, которому удовлетворяет координаты любой точки этой линии и нее удовлетворяют координаты любой точки не лежащей на этой линии

Нормальным вектором прямой называется любой ненулевой вектор перпендикулярный этой прямой

24. Общее уравнение прямой и его частные случаи

А(х-хо)+В(у+уо)=0

Ах + Ву+С=0 где С=-Ахо-Вуо

Частные случаи

1) Пусть В=0 Ах +С=0 ,то х=-С/А

-С\А=а х=а

2) Пусть А=0 В=0 С=0 х=0

3) Пусть А=0; Ву+С=0; у=-С/В ;-С/В=b; у=b

4) Пусть А=0 С=0 Ву=0 у=0

5) Пусть С=0; Ах+Ву=0; у=-А/В*х -А/В=к у=kx к=tgL

6) Ах+Ву+С=0

У=кх+b – уравнение прямой с угловым коэффицентом и начальной ординатой

25.Уравнение пучка прямых

Пучком прямых называют совокупность прямых проходящих через одну точку( центр пучка)

у-у0=k(х-х0)- уравнение пучка прямых

Уравнение пучка прямых задает любую прямую кроме перпендикулярной оси Ох

26.Уравнение прямой заданной точкой и направляющим вектором

Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой

каноническое уравнение прямой заданной точкой и напр. вектором

параметрическое уравнение прямой

28. Уравнение прямой в отрезках

29.Пересечение прямых вычисление угла между двумя прямыми

При решении системы возможны ответы

1. Система имеет единственное решение(х;у)- координаты точки пересечения

2. Система имеет множество решений- прямые совпадают

3. Система не имеет решений- прямые параллельны

30. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

1. Две прямые параллельны тогда и только тогда когда их угловые коэффициенты равны

2. Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты обратны по величене и противоположны по знаку

33. Уравнение плоскости, заданной точкой и нормальным вектором

А(х-х.)+В(у-у.)+С(z-z.)=0

n(A,B,C)

34.Общее уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0

где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

Возможны следующие частные случаи:

А = 0 – плоскость параллельна оси Ох

В = 0 – плоскость параллельна оси Оу

С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу

С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу

А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz

В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz

Уравнение плоскости в отрезках

36.Уравнение плоскости проходящей через 3 точки

37.Угол между плоскостями. Условие параллельности...

За угол между плоскостями принимают угол между их нормальными векторами

Условие параллельности

Две плоскости параллельны тогда , когда их нормальные векторы коллинеарны, тоесть координаты векторов пропорциональны

Условие перпендикулярности

Две плоскости перпендикулярны тогда, когда их норм. Векторы перпендикулярны, тоесть их скалярное произведение равно нулю.

38. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через данную точку с заданным направляющим вектором

- направляющий вектор

39. Уравнение прямой в пространстве проходящей через две данные точки

40.Общее уравнение прямой в пространстве. Приведение общих уравнение прямой к каноническому виду

-Общее уравнение прямой в пространстве

Для перехода от общих уравнений к каноническомунужно

1. Найти точку, принадлежащую прямой

2. Найти направляющий вектор прямой

41. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве .Угол между прямой и плоскостью.

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарны, а => их координаты пропорциональны.

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие вектора => скалярное произведение равно 0.

Дано:

=

Найти:

cos(

42. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

L//q < = > Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда нормальный вектор плоскости перпендикулярен направляющему вектору прямой, а => скалярное произведение этих векторов равно 0. Пусть L Q=> < = > Прямая плоскости тогда, и только тогда, когда нормальный вектор плоскости коллинеарен направляющему вектору прямой, а следовательно их координаты пропорциональны.