§3. Системи лінійних однорідних рівнянь.

1. Підпростір розв’язків. Якщо вільні члени всіх рівнянь лінійної системи дорівнюють нулеві, то така система називається однорідною. Однорідна система

(6)

завжди сумісна. Справді, сукупність нулів є розв’язком системи (6). Цей розв’язок називається нульовим, або тривіальним.

Запишемо однорідну систему (6) у матричному вигляді

, (7)

де

Позначимо через –вимірний арифметичний простір стовпчиків висотою , так що кожний розв’язок однорідної системи можна розглядати як вектор простору .

Теорема. Множина всіх розв’язків лінійної однорідної системи утворює лінійний підпростір арифметичного простору .

Доведення. Множина розв’язків лінійної однорідної системи непорожня, оскільки їй належить нульовий розв’язок. Нехай , - два яких-небудь розв’язки системи (7), тобто , . З властивостей дій над матрицями випливає, що для довільних чисел ,

,

тобто довільна лінійна комбінація розв’язків системи (7) сама є розв’язком цієї системи, а це означає, що множина розв’язків однорідної системи є лінійним підпростором простору . Теорему доведено.

2. Вимірність підпростору розв’язків. Ранг матриці системи лінійних однорідних рівнянь будемо називати рангом цієї системи, а лінійний підпростір її розв’язків будемо позначати .

Лема. Якщо ранг лінійної однорідної системи дорівнює , то підпростір розв’язків цієї системи має лінійно незалежних векторів.

Доведення. Можна вважати, що базисний мінор матриці системи (6) лежить у верхньому лівому кутку. Тоді система (6) еквівалентна підсистемі перших рівнянь

. (8)

Якщо , то детермінант системи (8) не дорівнює нулеві і, за правилом Крамера, система має лише нульовий розв’язок. Отже, в цьому випадку підпростір розв’язків складається лише з нульового вектора, , тому , тобто вимірність підпростору розв’язків збігається з величиною .

Нехай тепер . Залишимо зліва перших доданків кожного рівняння системи (8), а всі решта доданки перенесемо направо:

. (9)

Невідомі назвемо базисними, а всі решта – вільними. Коефіцієнти лівих частин системи (9) утворюють визначник, який збігається з базисним мінором , , тому систему (9) можна розв’язати за правилом Крамера відносно невідомих :

Кожний елемент –го стовпчика визначника є сумою доданків. За властивостями визначників 5º, 7º цей детермінант дорівнює сумі відповідних детермінантів:

Таким чином,

(10)

Долучимо до рівностей (10) ще очевидних рівностей

і запишемо отриману систему рівностей в матричній формі:

(11)

Вільним невідомим можна надавати довільних значень, тому позначимо , , . Крім того, кожну матрицю-стовпчик рівності (11) розглядаємо як вектор лінійного простору , а саму рівність (11) – як векторну рівність:

, (12)

де , , , .

Складемо –матрицю з координат векторів .

.

Легко побачити, що ранг цієї матриці дорівнює максимально можливому значенню , оскільки в цю матрицю входить одинична матриця порядку , детермінант якої не дорівнює нулеві. За теоремою про ранг матриці, вектори лінійно незалежні. Враховуючи, що кожний вектор сукупності є розв’язком однорідної системи (8), то підпростір розв’язків однорідної системи має лінійно незалежних векторів. Лему доведено.

Теорема. Підпростір розв’язків лінійної однорідної системи є –вимірним лінійним простором.

Доведення. Нехай – який-небудь розв’язок системи (6), тобто для компонент цього розв’язку справджуються рівності (10). Покажемо, що система векторів лінійно залежна. Для цього складемо матрицю з компонент цих векторів:

Помножимо кожний з останніх рядків матриці на відповідно і результати додамо до –того рядка. З –тої рівності системи (10) випливає, що в результаті цього додавання –тий рядок матриці стане нульовим. Проробимо описані дії для всіх . В результаті таких елементарних перетворень матриці отримаємо матрицю, перші рядків якої нульові. Оскільки в матрицю входить одинична матриця порядку , то , а це означає, що вектори лінійно залежні. Позаяк вектори лінійно незалежні, то, за теоремою про лінійну залежність, вектор є лінійною комбінацією векторів :

. (13)

За наслідком з леми про лінійні комбінації, підпростір розв’язків системи (6) є –вимірним лінійним підпростором, а вектори є базисом цього підпростору. Теорему доведено.

Сформулюємо наслідок, який випливає з цієї теореми і який надалі буде відігравати важливу роль.

Наслідок. Для того, щоб система лінійних однорідних рівнянь з невідомими мала ненульові розв’язки, необхідно і досить, щоб визначник цієї системи дорівнював нулеві.

Справді, нехай в системі (6) і нехай визначник цієї системи дорівнює нулеві, . Тоді . Звідси, за щойно доведеною теоремою, , тобто система (6) має ненульові розв’язки. Навпаки, якщо ненульовий вектор є розв’язком системи (6), то для будь-якого числа вектор також є розв’язком цієї системи, тобто вимірність підпростору розв’язків не менша від одиниці: . Звідси , що рівносильно тому, що .

3. Загальний розв’язок однорідної системи. Зазначимо, що розв’язок (13) лінійної однорідної системи отримується з рівності (12) при відповідних значеннях параметрів . Іншими словами, будь-який розв’язок однорідної системи можна отримати з рівності (12) певним вибором значень довільних постійних . Саме завдяки цій властивості рівність (12) називається загальним розв’язком лінійної однорідної системи. Базис підпростору розв’язків однорідної системи називається фундаментальною системою розв’язків. Зрозуміло, що будь-який інший базис підпростору розв’язків також буде фундаментальною системою розв’язків.