§2. Сумісні та несумісні лінійні системи.

1. Критерій сумісності. У першому розділі ми розглянули крамерові системи лінійних рівнянь, - системи, в яких число рівнянь збігається з числом невідомих, до того ж визначник системи не дорівнює нулеві, і показали, що єдиний розв’язок такої системи можна знайти або за правилом Крамера, або методом Гауса.

Перейдемо до дослідження систем лінійних алгебраїчних рівнянь в яких число рівнянь і число невідомих жодним чином не зв’язані між собою. Зокрема, будемо розглядати і такі системи, в яких число рівнянь збігається з числом невідомих, але визначник системи дорівнює нулеві.

Розглянемо систему лінійних рівнянь

, (2)

кількість невідомих в якій може бути меншою, більшою або дорівнювати числу рівнянь. Нагадаємо, що розв’язком системи (2) називається будь-яка сукупність чисел , при підстановці яких в систему (2) замість невідомих, кожне рівняння системи перетворюється в тотожність; система, яка має принаймні один розв’язок, називається сумісною; якщо ж система не має розв’язків, то вона називається несумісною.

Матриця

,

складена з коефіцієнтів при невідомих системи (2), називається матрицею системи, а матриця

,

яка отримується з матриці долученням стовпчика вільних членів, називається розширеною матрицею системи (2).

Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних рівнянь сумісна тоді і лише тоді, коли ранг матриці системи збігається з рангом її розширеної матриці.

Доведення. Перепишемо систему (2) у такому вигляді

. (3)

Якщо стовпчики системи (3) розглядати як вектори -вимірного лінійного простору і позначити , , , то рівності (3) можна стисло записати у векторній формі:

. (4)

Припустимо, що система (2) має розв’язок . Тоді справджується рівність

,

тобто вектор є лінійною комбінацією векторів , тому . Звідси, , тобто максимальна лінійно незалежна підсистема системи векторів збігається з максимальною лінійно незалежною підсистемою системи векторів . За теоремою про ранг матриці .

Навпаки, нехай тепер . Це означає, що будь-який базисний мінор матриці є базисним і для розширеної матриці . З теореми про базисний мінор випливає, що стовпчик вільних членів є лінійною комбінацією тих стовпчиків матриці , які увійшли в базисний мінор, а тому є лінійною комбінацією всіх стовпчиків матриці :

. (5)

Порівнюючи останню рівність з рівністю (4), доходимо висновку, що набір коефіцієнтів лінійної комбінації (5) є розв’язком системи (2). Теорему доведено.

2. Максимальна лінійно незалежна підсистема. Нехай система (2) сумісна, тобто , . Не зменшуючи загальності, можна вважати, що базисний мінор матриці лежить у верхньому лівому кутку цієї матриці. Цього легко досягти, переставивши місцями рядки та стовпчики розширеної матриці . останніх рівнянь системи (2), які відповідають рядкам розширеної матриці , що не ввійшли в базисний мінор, не є незалежними рівняннями, а є наслідками перших рівнянь. Справді, за теоремою про базисний мінор кожний з останніх рядків розширеної матриці є лінійною комбінацією її перших рядків. Відповідно, кожне з останніх рівнянь системи є лінійною комбінацією перших рівнянь. Кожне з останніх рівнянь напевно перетвориться в тотожність при деяких значеннях невідомих, якщо при цих значеннях перетворюється в тотожність кожне з перших рівнянь. Навпаки, очевидно, що якщо - який-небудь розв’язок системи (2), то цей набір чисел є розв’язком системи, що складається з перших рівнянь.

Підсистема рівнянь системи (2), коефіцієнти яких увійшли в базисний мінор матриці , називається максимальною лінійно незалежною підсистемою системи (2).

Таким чином, система (2) і її максимальна лінійно незалежна підсистема еквівалентні, а тому всі рівняння, які не ввійшли в максимальну лінійно незалежну підсистему, можна опустити.

Приклад. Дослідити задану систему на сумісність та виділити еквівалентну їй максимальну лінійно незалежну підсистему:

.

Складемо розширену матрицю заданої системи

і знайдемо її ранг. Для цього помножимо перший рядок спочатку на -2 і результат додамо до другого рядка, а потім – на -3 і додамо до третього рядка:

Помножимо другий рядок на -1 і додамо до третього рядка:

.

У верхньому лівому кутку лежить ненульовий мінор другого порядку:

,

а у всі мінори третього порядку входить нульовий третій рядок, тому кожен з них дорівнює нулеві. Звідси, . Оскільки вказаний мінор другого порядку є і мінором матриці , то . Звідси, за теоремою Кронекера-Капеллі, задана система сумісна. Базисний мінор лежить у перших двох рядках, тому перших два рівняння лінійно незалежні, а третє рівняння є наслідком перших двох. Отже, задана система еквівалентна своїй максимальній лінійно незалежній підсистемі