§4. Евклідові простори.

1. Означення та приклади. В термінах додавання векторів та множення вектора на число можна описати поняття підпростору, вимірності, паралельності і т.п., але в цих термінах не можна описати поняття довжини вектора, відстані, кута між векторами, перпендикулярності векторів. Щоб це стало можливим, в лінійному просторі треба впровадити поняття метрики, тобто перейти до евклідового простору.

Кажуть, що в дійсному лінійному просторі визначено скалярний добуток, якщо кожній парі векторів за яким-небудь правилом поставлено у відповідність дійсне число, яке будемо позначати , і для цього правила справджуються такі аксіоми:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Дійсний лінійний простір, в якому визначено скалярний добуток, називається евклідовим простором.

З означення скалярного добутку випливають такі його властивості (довести як вправу):

1º. ;

2º.

3º. ;

Наголосимо, що в одному й тому самому лінійному просторі можна по-різному визначати скалярний добуток – важливо лише, щоб для кожного такого означення справджувались аксіоми 1 – 4.

Приклади.

1. У випадку тривимірного простору скалярний добуток двох векторів було визначено як добуток модулів цих векторів на косинус кута між ними. Відповідні властивості так визначеного скалярного добутку збігаються з аксіомами 1 – 4.

2. У випадку – вимірного арифметичного простору для пари векторів визначимо скалярний добуток за формулою

Перевірити як вправу, що аксіоми 1 – 4 справджуються.

3. У просторі неперервних на проміжку функцій визначимо скалярний добуток двох функцій за формулою

Перевірити , що для так визначеного скалярного добутку справджуються аксіоми 1 – 4.

Модулем (довжиною) вектора евклідового простору називається число .

Кутом між векторами називається будь-яке число для якого

. (27)

Далі буде показано, що для будь-якої пари векторів евклідового простору , тобто подане означення кута між векторами є коректним.

2. Ортонормований базис. Два ненульові вектори евклідового простору називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулеві, . Звідси, за властивістю 3º, нуль-вектор ортогональний до будь-якого вектора простору.

Система ненульових векторів евклідового простору називається ортогональною, якщо вектори цієї системи попарно ортогональні, тобто при .

Лема. Ортогональна система векторів лінійно незалежна.

Доведення. Нехай система векторів ортогональна. Покажемо, що з рівності

(28)

випливає, що , . Справді, помножимо скалярно обидві частини рівності (28) на вектор :

.

Оскільки вектори системи попарно ортогональні, то при , тому остання рівність рівносильна рівності

.

За аксіомою 4, , тому . Лему доведено.

Наслідок. В – вимірному евклідовому просторі будь-яка ортогональна система векторів є базисом.

Базис – вимірного евклідового простору називається ортонормованим, якщо

.

Таким чином, ортонормований базис складається з попарно ортогональних векторів одиничної довжини.

3. Ортогоналізація системи векторів. Нехай в – вимірному евклідовому просторі задано лінійно незалежних векторів , . Опишемо процес побудови попарно ортогональних векторів за векторами системи .

Покладемо . Вектор будемо шукати у вигляді . Число виберемо так, щоб забезпечити ортогональність векторів , тобто знайдемо з умови . Звідси,

.

Припустимо, що вже знайдено попарно ортогональні вектори , . Тоді вектор будемо шукати у вигляді

, (29)

а коефіцієнти знайдемо з умови ортогональності вектора до кожного з векторів :

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙

Оскільки вектори попарно ортогональні, то ці рівності фактично виглядають так:

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙

Звідси,

; ; ∙∙∙ ; .

Підставивши отримані значення в рівність (29), знаходимо вектор .

Покажемо, що так отриманий вектор не може дорівнювати нулеві. Справді, вектор є лінійною комбінацією векторів . У свою чергу, вектор є лінійною комбінацією векторів і т. д. Звідси дістаємо, що в кінцевому результаті вектор є лінійною комбінацією векторів :

. (30)

Якщо припустити, що , то

.

Оскільки вектори лінійно незалежні, то лінійна комбінація цих векторів дорівнює нулеві лише у тому випадку, коли всі коефіцієнти лінійної комбінації дорівнюють нулеві. В останній рівності при стоїть коефіцієнт 1, тому ця рівність неможлива, а отже, .

Процес ортогоналізації закінчується побудовою векторів за тим самим правилом.

З отриманої ортогональної системи векторів легко дістати ортонормовану систему векторів за правилом:

Теорема. В кожному евклідовому просторі існують ортогональні базиси.

Доведення. В – вимірному лінійному просторі можна знайти який-небудь базис . За допомогою процесу ортогоналізації можна збудувати ортогональний базис . Теорему доведено.

4. Обчислення скалярного добутку через координати співмножників. Нехай - який-небудь базис – вимірного евклідового простору і нехай , . Тоді

. (31)

Скалярні добутки позначимо символами , . Звідси, . Величини утворюють квадратну матрицю

, (32)

яка називається матрицею Грама базису . За властивістю симетричності скалярного добутку , тобто .

Квадратні матриці, які не змінюються при транспонуванні, називаються симетричними, так що матриця Грама є симетричною матрицею.

Легко побачити, що рівність (31) можна записати в матричній формі

, (33)

де , .

Якщо базис ортонормований, то і рівності (31), (33) набувають відповідно вигляду

.

5. Зв’язок між матрицями Грама різних базисів. Нехай та – два різні базиси евклідового простору, зв’язані матрицею переходу , , або, в розгорненій формі, , . Для довільних

,

або, в матричній формі,

. (34)

Якщо - ортонормований базис, а - довільний, то , тому . Звідси, , тобто детермінант матриці Грама будь-якого базису додатний.

6. Ортогональні матриці. Нехай обидва базиси та ортонормовані. Тоді і рівність (34) набуває вигляду

. (35)

Квадратна матриця , для якої справджується рівність (35), називається ортогональною.

З рівності (35) для ортогональної матриці маємо

. (36)

Звідси легко дістаємо, що матриця також ортогональна:

,

що рівносильно тому, що обернена матриця ортогональна, бо . Таким чином, ортогональні матриці і лише вони служать матрицями переходу від одного ортонормованого базису до іншого ортонормованого базису.

Обчисливши детермінанти обох частин рівності (35), отримуємо рівність . Звідси, , тобто детермінант ортогональної матриці дорівнює +1, або -1.

7. Ортогональне доповнення підпростору. Кажуть, що вектор евклідового простору ортогональний до підпростору цього простору, якщо він ортогональний до кожного вектора підпростору .

Ортогональним доповненням – вимірного підпростору евклідового простору називається сукупність всеможливих векторів простору , ортогональних до . Ортогональне доповнення підпростору позначається .

Теорема. Ортогональне доповнення – вимірного підпростору – вимірного евклідового простору є – вимірним підпростором цього простору.

Доведення. Виберемо який-небудь ортогональний базис підпростору і доповнимо його до ортогонального базису всього простору векторами . Нехай вектор ортогональний до підпростору , . Тоді вектор ортогональний, зокрема, до кожного з векторів , при . Більш докладно, при

.

Позаяк , то необхідно , . Звідси, . Таким чином, будь-який вектор , ортогональний до підпростору , належить лінійній оболонці , тому . Лінійна оболонка , як відомо, є –вимірним підпростором. Теорему доведено.

Наслідок. Евклідів простір є прямою сумою якого-небудь свого підпростору та його ортогонального доповнення , .

8. Ортогональна проекція вектора на підпростір. Позначимо через – вимірний підпростір евклідового простору і нехай – деякий вектор простору , що не належить . Вектор називається ортогональною проекцією вектора на підпростір , якщо вектор ортогональний до .

Теорема. Для будь-якого вектора евклідового простору існує єдина його ортогональна проекція на підпростір .

Доведення. Нехай – який-небудь базис підпростору . Ортогональну проекцію вектора на підпростір можна шукати у вигляді

. (37)

Коефіцієнти знайдемо з умови ортогональності до , тобто з умов

.

Звідси,

,

або

. (38)

Визначником лінійної системи (38) є визначник матриці Грама базису , який, як відомо, більший від нуля. Звідси, система (38) має єдиний розв’язок , що рівносильно тому, що існує єдина ортогональна проекція вектора на підпростір , яку можна знайти за формулою . Теорему доведено.

Зазначимо, що якщо базис ортонормований, то система (38) перетворюється в сукупність таких рівностей

, (39)

за якими відразу визначаються шукані коефіцієнти.

Зауваження. Модуль вектора є найкоротшою відстанню від точки – кінця вектора – до підпростору . Справді, нехай – будь-який вектор підпростору , який не збігається з вектором . Тоді вектор належить підпросторові , тому ортогональний до вектора і тому . Звідси,

9. Ізоморфні евклідові простори. Два евклідові простори , називаються ізоморфними, якщо існує взаємно однозначне відображення , для якого справджуються такі умови:

1.

2.

3.

Іншими словами, два евклідові простори називаються ізоморфними, якщо вони ізоморфні як лінійні простори і ізоморфне відображення зберігає скалярний добуток.

Теорема. Два евклідові простори ізоморфні тоді і лише тоді, коли їх вимірності збігаються.

Доведення. Якщо два евклідові простори мають різні вимірності, то вони не можуть бути ізоморфними, оскільки вони не ізоморфні навіть як лінійні простори, тому нехай . Виберемо в просторах , ортонормовані базиси та відповідно. Побудуємо відображення за таким правилом: кожному векторові простору поставимо у відповідність вектор простору . За лемою про природний ізоморфізм лінійних просторів, збудоване відображення є ізоморфним відображенням лінійного простору в лінійний простір . Покажемо, що відображення зберігає скалярний добуток. Для пари векторів простору

.

Отже, евклідові простори , ізоморфні.

10. Деякі наслідки з теореми про ізоморфізм. Будь-яке твердження про два чи три вектори евклідового простору довільної вимірності, сформульоване в термінах лінійних операцій та скалярного множення, досить перевірити відповідно у дво– чи тривимірному просторі. Справді, лінійна оболонка цих векторів є дво– чи тривимірним підпростором евклідового простору. За теоремою про ізоморфізм цей підпростір ізоморфний площині чи тривимірному просторові, а отже, дане твердження досить перевірити лише в останньому випадку.

Нерівність Коші-Буняковського. Для будь-якої пари векторів , евклідового простору справджується нерівність

,

яка називається нерівністю Коші-Буняковського. Нерівність Коші-Буняковського справджується для двох векторів площини. Справді, з векторної алгебри відомо, що для пари векторів , площини

.

Звідси,

,

а отже,

.

Звідси випливає, що нерівність Коші-Буняковського справджується в будь-якому евклідовому просторі.

Зазначимо, що для – вимірного евклідового простору зі скалярним добутком нерівність Коші-Буняковського має вигляд

,

а для простору – такий вигляд

.

Нерівність Мінковського. Нехай , – два довільні вектори евклідового простору. Тоді для них справджується нерівність

,

яка називається нерівністю Мінковського. Нерівність Мінковського є твердженням про два вектори евклідового простору. На площині вона означає, що довжина сторони трикутника не більша від суми довжин двох інших його сторін і доводиться в шкільному курсі геометрії під назвою нерівності трикутника. За теоремою про ізоморфізм евклідових просторів ця нерівність справджується у будь-якому евклідовому просторі.

В – вимірному евклідовому просторі зі скалярним добутком нерівність Мінковського має вигляд

,

а для простору –

.

Теорема Піфагора. Для будь-якої пари ортогональних векторів , евклідового простору

.

Істинність теореми Піфагора в евклідовому просторі випливає з тих самих міркувань, що й нерівність Коші-Буняковського та нерівність Мінковського.

11. Поняття про унітарні простори. Комплексний лінійний простір називається унітарним, якщо в ньому визначено комплекснозначний скалярний добуток , для якого справджуються такі аксіоми:

1.

2. ,

3. ,

4. .

Звідси дістаємо правило винесення скалярного множника з другого співмножника:

.

За першою аксіомою, , тобто – дійсне число. Аксіома 4 лише уточнює, що це число додатне для всіх ненульових векторів.

Модуль вектора та кут між векторами визначаються за тими самими формулами, що й для евклідового простору. В унітарному просторі модуль вектора – дійсне невід’ємне число, а кут – комплексне число.

Для унітарного простору справджується такий аналог нерівності Коші-Буняковського:

.

Вектори унітарного простору називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулеві.

В унітарному просторі існує ортонормований базис, який можна отримати з довільного базису методом ортогоналізації з наступним нормуванням векторів. Скалярний добуток в ортонормованому базисі обчислюється за формулою

.

Для довільного базису унітарного простору запроваджується матриця Грама цього базису:

.

Оскільки , то для матриці Грама справджується рівність

.

Будь-яка квадратна матриця з комплексними елементами, для якої справджується умова , називається ермітовою. Таким чином, матриця Грама є ермітовою матрицею.

Для матриці переходу від одного ортонормованого базису до іншого ортонормованого базису унітарного простору справджується умова

. (40)

Квадратні матриці з комплексними елементами, для яких справджується умова (40), називаються унітарними. Для унітарної матриці :

.

143