8. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Свойства
Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: D[a] = 0. Верно и обратное: если D[X] = 0, то X = M[X] почти всюду;
Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
,
где 
—
их ковариация;
9. Общие свойства случайных величин.
Неравенство Чебышева в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. Говоря более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего.
Одно из основных неравенств для монотонных последовательностей или функций.
Если
случайная величина Х имеет конечные
математическое ожидание М(Х) и дисперсию
Д(Х), то для любого положительного e справедливо
неравенство
Данное
неравенство часто дает грубую, не
представляющую интереса оценку. Например,
пусть
тогда
Тем
не менее, данное неравенство имеет
большое теоретическое значение. С его
помощью доказываются теоремы и делаются
теоретические выводы.
10. Теорема Бернулли
Теорема Бернулли: Если вероятность события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р, то при достаточно большом п для произвольного e >0 справедливо неравенство
Переходя к пределу, имеем
Теорема Бернулли устанавливает связь между вероятностью появления события и его относительной частотой появления и позволяет при этом предсказать, какой примерно будет эта частота в п испытаниях. Из теоремы видно, что отношение т/п обладает свойством устойчивости при неограниченном росте числа испытаний.
11. Теорема Ляпунова.
В
теории вероятностей, теорема,
устанавливающая некоторые весьма общие
достаточные условия для сходимости
распределения сумм независимых случайных
величин к нормальному закону. Сформулирована
и доказана А. М. Ляпуновым в 1901.
равномерно
относительно всех значений хи хЛяпунов
дал также оценку скорости сходимости
в Л. т. В дальнейшем были установлены
условия, расширяющие условие Ляпунова
и являющиеся
не только достаточными, но в нек-ром смысле необходимыми. См. Предельные теоремы теории вероятностей.
12. Теорема Чебышева.
Теорема
Чебышева: При достаточно большом числе
независимых случайных величин Х1, Х2,
Х3, ..., Хn, дисперсия каждой из которых не
превышает одного и того же постоянного
числа В, для произвольного сколько
угодно малого числа e справедливо
неравенство
Из теоремы следует, что среднее
арифметическое случайных величин
при возрастании их числа проявляет
свойство устойчивости, т. е. стремится
по вероятности к неслучайной величине,
которой является среднее арифметическое
математических ожиданий этих величин,
т.е. вероятность отклонения по абсолютной
величине среднего арифметического
случайных величин от среднего
арифметического их математических
ожиданий меньше чем на e при неограниченном
возрастании n стремится к 1, т.е. становится
практически достоверным событием.