2.3 Корректировка оптимального плана по продукции

Пусть вводилась в плановое ограничение типа и имеет смысл перевыполнения плана или превышение выпуска продукции над гарантированным.

Определение 1 Гарантированный выпуск – это минимально возможный выпуск, соответствующий выполнению планового ограничения на равенстве и переменная не вошла в базис, то есть .

2.3.1 Рассмотрим как ведет себя при увеличении плана, то есть . Тогда из исходной системы будем иметь:

или

Таким образом, при увеличении гарантированного выпуска перевыполнение плана увеличивается на ту же величину и .

Запишем условие неизменности базиса:

При имеем аналогично (6):

(10)

Найдем верхнюю границу гарантированного выпуска:

(11)

2.3.2 Рассмотрим, как ведет себя при уменьшении плана, то есть .

Запишем из исходной системы:

или

Таким образом, при уменьшении гарантированного выпуска перевыполнение плана уменьшается на ту же величину и становится отрицательным, то есть .

Тогда аналогично (4) имеем:

(12)

Отсюда нижняя граница гарантированного выпуска равна:

(13)

Объединяя (10) и (12) получим допустимый интервал варьирования переменной, означающей перевыполнение плана:

(14)

Объединяя (11) и (13) получим пределы изменения гарантированного выпуска:

13.Понятие ПФ, экономическая интерпретация; параметрическая задача ЛП, пример.

Определение 1 ПФ (производственная функция) – это аналитическая или табличная зависимость производственного показателя (результирующая функция эффекта) от производственных факторов: .

ПФ используется для того, чтобы отследить динамику реакции реального производства на изменение значения производственного фактора.

Параметрическая ЗЛП

1) Линейная модель оптимизации производственной программы предприятия:

(1)

, (2)

, (3)

, (4)

– ресурсные ограничения.

14.Линейная модель оптимизации производственной программы с учетом возможностей пополнения ресурсов и (или) изменения плановых заданий.

1) Линейная модель оптимизации производственной программы предприятия:

(1)

, (2)

, (3)

, (4)

– ресурсные ограничения.

Дополним общую постановку модели следующим образом: исходя из заданного объема инвестиций V, стоимости единицы -го ресурса, оценить реакцию производства на увеличение дефицитности ресурса

2) Линейная модель оптимизации производственной программы с учетом возможностей пополнения дефицитных ресурсов в пределах заданных объемов денежных вложений. Следует учесть, что инвесторы идут на финансирование капитальных вложений. Задан коэффициент эффективности капитальных вложений ε_n, который служит для соотношения капитальных затрат к текущим. С учетом дополнительных условий модель примет вид:

(5)

, (6)

, (7)

(8)

, , , (9)

Здесь s-индекс значения параметра.

могут быть взяты =0, , то есть начальных фондов ресурсов нет. Меняя s, получим набор ПФ – доход от параметра – объем инвестиций, то есть получим зависимость эффекта от капвложений. Когда меняем значения параметра, удобно использовать корректировку оптимального плана по дефицитному ресурсу. В этом случае следует проверить предел верхнего варьирования ресурса и если он меньше шага по ресурсу, то можно не считать задачу симплекс-методом, а скорректировать решение предыдущего шага.

15.Основные типы производственно-экономических задач динамического программирования (ДП).

Тип 1 Оптимальное распределение фиксированного количества ресурса по вариантам производства, различающимся во времени, в пространстве и по технологиям.

Постановка задачи:

Имеется количество некоторого ресурса, который можно использовать в вариантах производства. Известны функции эффекта, получаемого в -м варианте при использовании ресурса в количестве . Необходимо так распределить по вариантам, чтобы суммарный эффект был максимален.

Модель:

(1)

Тип 2 Оптимальное распределение производства некоторого количества продукции по вариантам производства, различающимся во времени, в пространстве и по технологиям.

Постановка задачи:

Надо произвести заданное количество продукции. Имеется вариантов производства. Известны функции затрат на производство в -м варианте -го количества продукции – . Необходимо так распределить требуемый объем производства по вариантам, чтобы суммарные затраты были минимальны.

Модель:

(2)

Тип 3 Оптимальное распределение воспроизводимого ресурса.

Постановка задачи:

Имеется начальное количество некоторого ресурса, который можно использовать в производстве в течение циклов. Для каждого цикла известно:

а) эффект от использования в -м цикле ресурса в количестве – ;

б) количество ресурса, которое в -м цикле воспроизводится и пополняет оставшиеся запасы – .

Необходимо так распределить ресурс по циклам производства, чтобы с учетом его возврата получить максимум суммарного эффекта за циклов производства.

Модель:

(3)

Очевидно, что если , то задача типа 3 преобразуется в задачу типа 1.

Пусть , тогда получим:

Из последнего: .

14.Табличный метод решения задач ДП.

Табличный метод для трехшагового процесса оптимизации (не воспроизводимый ресурс)

Пример:

Для предприятия выделен объем инвестиций в размере 2000 единиц, который нужно освоить за 3 года с максимальным эффектом. Функции эффекта от вложения средств заданы таблично с шагом по объему вложений, равным 250 единиц. Объем вложений в каждый год для предприятия не должен превышать 1250 единиц, шаг = 250. Найти оптимальный график освоения инвестиций.

Таблица 5.4

	0	250	500	750	1000	1250
	0	20	36	50	62	72
	0	22	38	50	60	68
	0	19	31	43	64	63

Решение:

Шаг 1 Пусть имеется одношаговый процесс для третьего года. Задан эффект от вложения средств (в размерах от 0 до 1250 с шагом 250 ) – .

– – неизвестно, перебираем все возможные варианты.

Таблица 5.5

	0	250	500	750	1000	1250
	0	0 250	0 250 500	0 250 500 750	0 250 500 750 1000	0 250 500 750 1000 1250
	0	19	31	43	64	64

Шаг 2 Пусть имеется двухшаговый процесс распределения средств между вторым и третьим годом.

– неизвестно, перебираем все возможные , при этом нужно соблюдать условие: объем вложений в каждый год .

Опустим возможные значения

Таблица 5.6

	0	250	500	750	1000	1250
	2000	1750	1500	1250	1000	750

Заметим, что ограничение не касается – объема средств, распределяемых в -ом году, то есть возможна ситуация, когда средства окажутся в избытке: , но эффект берется в соответствии с тем, сколько средств будет освоено, то есть с .

Таблица 5.7

0 250 500
750	0 250 500 750	0 22 38 50	750 500 250 0	43 31 19 0	43 53 57 50	57
1000	0 250 500 750 1000	0 22 38 50 60	1000 750 500 250 0	64 43 31 19 0	64 65 69 69 60	69 69
1250	0 250 500 750 1000 1250	0 22 38 50 60 68	1250 1000 750 500 250 0	64 64 43 31 19 0	6 86 81 81 79 68	86
1500	0 250 500 750 1000 1250	0 22 38 50 60 68	1500 1250 1000 750 500 250	64 64 64 43 31 19	64 86 102 93 91 87	102
1750	0 250 500 750 1000 1250	0 22 38 50 60 68	1750 1500 1250 1000 750 500	64 64 64 64 43 31	64 86 102 114 103 99	114
2000	0 250 500 750 1000 1250	0 22 38 50 60 68	2000 1750 1500 1250 1000 750	64 64 64 64 64 43	64 86 102 114 124 111	124

Шаг 3 Имеем трехшаговый процесс распределения средств для первого, второго и третьего года.

Таблица 5.8

2000	0 250 500 750 1000 1250	0 20 36 50 62 72	2000 1750 1500 1250 1000 750	124 114 102 86 69 57	124 134 138 136 131 129	138

Суммарный максимальный эффект за три года от оптимального распределения средств равен 138 единиц.

Определим капвложения в каждый год.

Обратный ход:

1. При эффекте т вложения средств за три года равном , капвложения в первый год – , а объем средств на второй и третий год .

2. С входим в таблице второго шага и определяем капвложения во второй год , а объем средств на третий год . Максимальный эффект за второй и третий годы равен 102 единицы.

3. С входим в таблицу первого шага и определяем . Эффект за третий год равен 64 единицы.

Ответ: ,

Таким образом, если существует ограничение на величину в соотношениях для -го шага следует брать пределы изменения для так:

.

Схема обратного хода:

		0		250		500	750			1000	1250
										1000
										64
750
1000
1250
1500	500				2000			64			102
1750
2000

2000	500		1500	102		138

18.Оптимальное распределение воспроизводимого ресурса.

Для предприятия выделен объем инвестиций в размере 2000 единиц, который нужно освоить за 3 года с максимальным эффектом. Функции эффекта от вложения средств заданы таблично с шагом по объему вложений, равным 250 единиц. Объем вложений в каждый год для предприятия не должен превышать 1250 единиц, шаг = 250. Найти оптимальный график освоения инвестиций.

Таблица 5.4

	0	250	500	750	1000	1250
	0	20	36	50	62	72
	0	22	38	50	60	68
	0	19	31	43	64	63

Для условия примера 2 п.5.4.2.

Средства в конце каждого года возвращаются в виде части прибыли, идущей на расширение производства в размере , и присоединяются к оставшимся средствам.

Запишем модель:

Решение:

Шаг 1

Таблица 5.9

	0	250	500	750	950	1000	1250	1500	1750	2000
	0	0 250	0 250 500	0 250 500 750	0 250 500 750 950	1000	1000	1000	1000	1000
	0	19	31	43	59,8	64	64	64	64	64

Прежде чем перейти ко второму шагу, определим возможные значения ; ; .

Таблица 5.10

	0	250	500	750	1000	1250
	2000	1850	1700	1550	1400	1250

Шаг 2

Таблица 5.11

1250	0 250 500 750 1000 1250	0 22 38 50 60 68	1250 1100 950 800 650 500	64 64 59,8 47,2 38,2 31	64 86 97,8 97,2 98,2 99	99
1400	0 250 500 750 1000 1250	0 22 38 50 60 68	1400 1250 1100 950 800 650	64 64 64 59,8 47,2 38,2	64 86 102 109,8 107,2 106,2	109,8
1550	0 250 500 750 1000 1250	0 22 38 50 60 68	1550 1400 1250 1100 950 800	64 64 64 64 59,8 47,2	64 86 102 114 119,8 115,2	119,8
1700	0 250 500 750 1000 1250	0 22 38 50 60 68	1700 1550 1400 1250 1100 950	64 64 64 64 64 59,8	64 86 102 114 124 127,8	127,8
1850	0 250 500 750 1000 1250	0 22 38 50 60 68	1850 1700 1550 1400 1250 1100	64 64 64 64 64 64	64 86 102 114 124 132	132
2000	0 250 500 750 1000 1250	0 22 38 50 60 68	2000 1850 1700 1550 1400 1250	64 64 64 64 64 64	64 86 102 114 124 132	132

для , не принадлежащего таблице первого шага, рассчитываем методом кусочно-линейной интерполяции:

Шаг 3 Строим расчетную таблицу, определяющую оптимальные вложения в первый год и суммарный эффект за три года .

Таблица 5.12

2000	0 250 500 750 1000 1250	0 20 36 50 62 72	2000 1850 1700 1550 1400 1250	132 132 127,8 119,8 109,8 99	132 152 163,8 169,8 171,8 171	171,8

На третьем шаге получили

Обратный ход:

С входим в таблицу второго шага и находим

С входим в таблицу первого шага и находим

Ответ: ,

19.Метод множителей Лагранжа; интерпретация функции и множителей Лагранжа.

Метод множителей Лагранжа обобщен на задачи с ограничениями и условием неотрицательности неизвестных. В практическом применении метода множителей Лагранжа могут возникнуть следующие трудности:

1) трудности численного решения систем нелинейных уравнений;

2) проблема полного перебора найденных условных локальных экстремумов с целью поиска наибольшего (наименьшего) значения;

3) проблема существования локальных условных экстремумов и отсутствие глобальных условных экстремумов (многоэкстремальные задачи);

4) обобщение метода множителей Лагранжа на класс экстремальных задач с ограничениями типа или связано с вычислительными трудностями.

Для задач выпуклого программирования задачу на условный экстремум можно свести к задаче нахождения Седловой точки функции Лагранжа. Функция Лагранжа это функция векторов и таких, что в точке, где вектор приносит локальный максимум , вектор приносит минимум . В теории математического программирования доказывается, что если конструкция функции такова

(1)

где - нелинейная функция цели исходной задачи, - соответствующие правые и левые части линейных ограничений равенств, то имеет седловую точку .

Причем компоненты вектора соответствуют относительному максимуму при ограничениях являются компонентами Седловой точки функции Лагранжа .

Определение 2 Функция имеет в точке седловую точку, если условие:

(2)

выполняется для в -окрестности точки , а для в -окрестности точки ; если (2) выполняется для всех и , то функция Лагранжа имеет в точке глобальную седловую точку.

Для имеющих практическое приложение в математическом моделировании экономических процессов (квадратичная целевая функция и линейные ограничения), точка – глобальная седловая точка и компоненты соответствуют глобальному максимуму .

Из (2) следует, что достигает минимума в точке , а достигает максимума в точке , то есть:

и аналогично

Таким образом, для соблюдается принцип максимина (минимакса).

Интерпретация множителей Лагранжа

С седловой точкой связана теория двойственности, в соответствии с которой если прямая задача имеет в Седловой точке решение , то является решением сопряженной задачи и интерпретируется как двойственные (объективно - обусловленные) оценки ресурсов. Тогда при увеличении ресурса на эффект возрастает на величину . Аналогично, если двойственная задача имеет в Седловой точке решение , то является решением сопряженной задачи и интерпретируется как степень напряженности плановых заданий. Тогда при увеличении плановых заданий на на величину эффект уменьшится на

Таким образом, компоненты вектора оптимальным образом соотносятся между собой по степени дефицитности ресурса и со значением эффекта по величине приращения эффекта от ввода в производство единицы ресурса Это эффект, который дает единица ресурса.

Отсюда интерпретация такова: значение функции Лагранжа в Седловой точке это эффект минус тот эффект, который мог бы быть получен, если бы дефицитные ресурсы были в достатке. Действительно, может быть равно нулю, когда , то есть - дефицита нет; с другой стороны при , есть дефицит,

Выводы.

Существуют различные подходы к ценообразованию, как к механизму формирования цен для различных экономических условий; рынок в условиях свободной конкуренции; частично или полностью монополизированный рынок. В последнем случае предполагается, что производственная функция будет полностью реализована и тогда в основу расчета цены берутся затраты на предполагаемый объем производства и номенклатуру продукции – это затратная концепция ценообразования.

Другой подход основан на концепции, согласно которой основным фактором формирования цены является эффект от реализации продукции. В задаче линейного программирования оценки являются решением двойственной задачи линейного программирования. Такой подход называется концепция цен оптимального плана. При этом цены, построенные на основании ООО, соотнесены с интенсивностью потребности в ресурсе и с его наличием.

В случае, когда функция цели нелинейная, те же оценки дает применение для реализации модели метода множителей Лагранжа.

Примечание: анализ выпуклых задач (обобщение на случай ограничения или ) используют разрешающие множества или множители Лагранжа:

а) для формулирования необходимо и достаточно условий того, что допустимое решение является точкой экстремума (локального, а значит и глобального);

б) для проверки оптимальности допустимого решения и, в случае неоптимальности, для определения направления, в котором нужно производить изменение решения.

20.Частные задачи ЛП: задача о смесях.

Постановка задачи:

Имеется продуктов, . Каждый -ый продукт характеризуется содержанием в единице продукта (веса, объема) некоторых активных веществ (белки, жиры, химические элементы и т.д.); всего компонент имеется , ;

– содержание -го питательного вещества в единице -го продукта.

Известны: физиологический норматив -го вещества – и цена единицы продукта – .

Определить количество -го продукта в смеси – такое, чтобы стоимость смеси была минимальной и выполнялись требования по содержанию в ней активных веществ.

Модель:

Обозначим – количество -го продукта, включаемого в смесь; тогда будет выражать состав и количество продуктов и , таким образом, саму смесь.

(1)

21.Частные задачи ЛП: раскройная задача.

Имеется стандартных заготовок (доски, прутья, листы стали и т.д.), которые подлежат раскрою на детали для сборки готового изделия. Задано вариантов, , технологий раскроя:

, – количество видов деталей. Это означает, что при –ом варианте раскроя получают шт. деталей первого вида, шт. деталей второго вида и т.д. Часть компонент могут быть равны нулю, то есть данные детали при -ом варианте раскроя не получают.

Хотя каждая из деталей, необходимых для сборки готовых изделий в каком-либо варианте раскроя присутствует.

Из получаемых деталей можно собрать видов готовых изделий. Для каждого вида готовых изделий известен набор деталей, из которых собирается это изделие: и цена реализации каждого готового изделия – . Надо составить такой план раскроя заготовок (буквально – план для раскройного цеха) и такой план сборки готовых изделий (план для сборочного цеха), чтобы реализация изделий дала максимум суммарной выручки.

Модель:

Обозначим – число заготовок, раскраиваемых по -й технологии; – число готовых изделий -го вида в плане выпуска сборочного цеха.

Тогда: – план раскройного цеха, – план сборочного цеха.

(2)

– балансы по деталям

– баланс по заготовкам

22.Частные задачи ЛП: станочная задача.

Станочная задача

Постановка задачи:

Имеется типов станков, (любое оборудование). Известен фонд рабочего времени каждого типа станков , , станко-часах за определенный промежуток времени (сутки, квартал). На станках надо изготовить детали, из которых собирается готовое изделие одного типа. Задан набор деталей, из которых надо изготовить одно готовое изделие: . То есть на сборку идет штук деталей первого вида, штук деталей второго вида и т.д. Каждую деталь можно изготовить на станках любого типа, но производительность их на разных деталях разная.

Известны затраты времени в станко-часах на изготовление одной детали -го вида на станке -го типа.

Надо так распределить детали по станкам, чтобы за данный промежуток времени получить максимальное количество готовых изделий из произведенных деталей.

Модель:

Обозначим – количество деталей -го вида, которые должны изготавливаться на станке -го типа; – число готовых изделий.

Тогда: – план производства деталей, – план производства готовых изделий.

(3)

– балансы по деталям,

– балансы по фонду рабочего времени станков,

,

23.Частные задачи ЛП: задача об использовании агрегатов.

Это модификация станочной задачи.

Типовая постановка задачи:

Имеется типов машин, , в количествах . Из этих машин составляются агрегаты типов, , для производства видов, , работ в объемах .

Для каждого -го агрегата известны:

– число машин -го типа, входящих в -ый агрегат,

– производительность -го агрегата на -ом виде работ,

– стоимость выполнения единицы -го вида работ агрегатом.

Надо выбрать такие варианты агрегатов и так распределить их по работам, чтобы при имеющейся технике выполнить требуемые объемы работ с минимальными затратами.

Модель:

Обозначим: – число комплектуемых агрегатов -го вида, – число -х агрегатов, которые будут выполнять -й вид работ .

(4)

– балансы по машинам при комплектовании агрегатов,

– балансы по агрегатам при их использовании,

– балансы по работам,

24.Задача минимизации времени выполнения всей программы работ.

Пусть как в задаче (5), надо выполнить видов работ в объемах , . Известно количество оборудования каждого типа , . Каждая работа может выполняться на каждом типе оборудования.

Задана производительность оборудования , как затраты времени на выполнение -ой работы на -ом оборудовании. Тогда производственные мощности должны быть выражены в расчете на фиксированный промежуток времени , [час, сутки, квартал и т.д.]: .

Не будем фиксировать время выполнения всей программы работ – , сделав его искомой величиной. Необходимо так распределить работы по типам оборудования, чтобы всю программу работ выполнить на имеющемся оборудовании за минимальное время – .

Модель:

при условиях:

(6)

Преобразуем первую группу ограничений к виду:

(7)

Каждая работа может выполняться на каждом типе оборудования, то есть имеет место полная взаимозаменяемость оборудования.

Поэтому очевидно, что минимальное время достигается при строгих равенствах (7). Если хотя бы в одном из ограничений (7) левая часть меньше , то соответствующую мощность можно доиспользовать так, чтобы уменьшить общее время выполнения работ .

Перепишем (6) в виде:

при условиях:

(8)

Задача (8) имеет специальный алгоритм численной реализации.

25.Распределительная задача линейного программирования.

РЗЛП – представляет собой специальную задачу линейного программирования транспортного типа, имеющую многочисленные приложения к задачам планирования, управления и проектирования.