Завдання для самостійних робіт

Завдання 1. Побудувати економіко-математичну модель задачі

1. Для виготовлення 3-х видів виробі А, В і С використовується токарне, фрезерне, зварювальне та шліфувальне обладнання. Витрати часу на обробку одного виробу для кожного з типів обладнання вказані в таблиці. Там же вказаний загальний фонд (ЗФ) робочого часу кожного типу обладнання, а також прибуток від реалізації одного виробу кожного виду

	А	Б	С	ЗФ
Фрезерне	2	4	5	120
Токарне	1	8	6	280
Зварювальне	7	4	5	240
Шліфувальне	4	6	7	360
Прибуток	10	14	12

Визначити план випуску підприємства, щоб прибуток від реалізації був максимальним.

2. Для виробництва n видів виробів підприємство використовує m груп взаємозамінного обладнання. Виробів i-го виду необхідно виготовити B_i одиниць ( ), причому j-а група обладнання може бути зайнята виготовленням виробів не більше, ніж а_j годин ( ). Час виготовлення одного виробу i-го виду на j-й групі устаткування дорівнює а_ij годинам, а ціна виробництва дорівнює с_ij грн. Визначити, скільки виробів даного виду з використанням кожної з груп обладнання слід виготовити, щоб виробити потрібну кількість виробів кожного виду при найменшій загальній вартості їх виготовлення.

3. При вирощуванні певної культури може бути використаний i-й вид добрив в кількості не більшій ніж b_i кг ( ). Уся посівна площа містить n ґрунтово-кліматичних зон, причому площа j-ї зони дорівнює d_j га ( ).Внесення на кожен гектар площі j-ї зони 1 кг добрив i-го виду збільшує середню врожайність на с_ij центнерів. Потрібно розподілити виділений фонд добрив між посівними зонами так, щоб сумарний приріст врожайності культур за рахунок внесення добрив був максимальним.

4. Для виробництва чавунного лиття використовується n різних вихідних шихтових матеріалів (чавун різних марок, сталевий брухт, Ферофосфор та ін.). Хімічний склад чавунного лиття визначається вмістом в ньому хімічних елементів, (кремнію, марганцю, фосфору та ін.). Готовий чавун повинен мати строго визначений хімічний склад, який задається величинами Н_j, що представляють собою частки (у %) j-го хімічного елемента в готовому продукті. При цьому відомі величини: h_ij – зміст (у %) j-го хімічного елемента в i-му вихідному шихтовому матеріалі; с_i – ціна одиниці кожного i-го шихтового матеріалу. Визначити склад шихти, що забезпечує отримання лиття заданої якості при мінімальній загальній вартості використовуваних шихтових матеріалів.

5. З листового прокату потрібно викроїти заготовки чотирьох видів. Один лист довжиною 184 см можна розрізати на заготовки довжиною 45, 50, 65 і 85 см. Всього заготовок кожного виду необхідно відповідно 90, 96, 88, 56 шт. Способи розрізу одного листа на заготовки і величина відходів при кожному способі наведені в таблиці. Визначити, яка кількість аркушів по кожному із способів слід розрізати, щоб отримати потрібну кількість заготовок даного виду при мінімальних загальних відходах.

Довжина заготовки (см)	Кількість заготовок, яка викроюється з одного листа при розрізі способом
	1	2	3	4	5	6
45	2	2	1	1	-	-
50	1	-	-	1	-	-
65	-	-	2	-	1	1
85	-	1	-	1	-	1
Відходи (см)	44	9	9	4	19	34

6. Для виробництва трьох видів виробів А, В і С використовується три різних види сировини. Кожен з видів сировини може бути використаний у кількості, відповідно не більшій 180, 210 і 244 кг. Норми витрат кожного з видів сировини на одиницю продукції даного виду і ціна одиниці продукції кожного виду наведені в таблиці. Визначити план випуску продукції, при якому забезпечується її максимальна вартість.

Вид сировини	Норми витрат сировини (кг) на 1 од. продукції
	А	В	С
1	4	2	1
2	3	1	3
3	1	2	5
Ціна од. продукції (грн.)	10	14	12

Пароплав може бути використаний для перевезення 6 найменувань вантажу, маса, об'єм і ціна одиниці кожного з яких наведені в таблиці. На пароплав може бути занурено не більше 500 т вантажу загальним обсягом, що не перевищує 600 м3. Визначити, скільки одиниць кожного вантажу слід помістити на пароплав так, щоб загальна вартість розміщеного вантажу була максимальною.

Параметри одиниці грузу	Номер грузу
	1	2	3	4	5	6
Маса (т)	60	81	83	86	65	83
Об’єм (м3)	80	114	60	106	114	86
Ціна (тис.грн.)	2,8	3,3	3,5	4,7	3,9	4,0

8. В аеропорту для перевезення пасажирів по n маршрутами може бути використано m типів літаків. Місткість літака i-го типу дорівнює а_i чоловік, а кількість пасажирів, що перевозяться по j-му маршруту за сезон, становить b_j чоловік. Витрати, пов'язані з використанням літака i-го типу на j-му маршруті, складають с_ij грн. Визначити, скільки літаків цього типу і на якому з маршрутів слід використовувати, щоб задовольнити потреби в перевезеннях при найменших загальних витратах.

9. .Є три ділянки землі, на яких можуть бути засіяні кукурудза, пшениця, ячмінь і просо. Площа кожної з ділянок відповідно дорівнює 600,180 і 220 га. З урахуванням наявності насіння кукурудзи, пшениці, ячменю і проса слід відповідно засіяти 290, 280, 110 і 420 га. Врожайність кожної з культур для кожного з ділянок різна і задається матрицею

Визначити, скільки гектарів кожної культури на кожному з ділянок слід зайняти так, щоб загальний збір зерна був максимальний.

10. Виготовлена на 3 цегельних заводах цегла надходить на 4 споруджуваних об'єкта. Щоденне виробництво цегли і потреба в ньому зазначені в таблиці. У ній же вказана ціна перевезення 1000 шт. цегли з кожного з заводів до кожного з об'єктів. Скласти план перевезень, згідно з яким забезпечуються потреби в цеглі на кожному об'єкті при мінімальній вартості перевезень.

Завод	Ціна перевезення 1 тис. шт. цегли до споруджуваного об'єкта				Виробництво цегли (тис. шт.)
	1	2	3	4
1	8	7	5	10	240
2	13	8	10	7	360
3	12	4	11	9	180
Потреби в цеглі (тис. шт.)	230	220	130	170

10. У цеху підприємства вирішено встановити додаткове обладнання, для розміщення якого виділено м³ площі. На придбання обладнання підприємство може витратити 10 тис. грн.. При цьому вона може купити обладнання 2-х видів. Комплект обладнання 1 виду коштує 1000 грн., а 2 виду – 3000 грн. Придбання одного комплекту обладнання 1 виду дозволяє збільшити випуск продукції в зміну на 2 од., а одного комплекту обладнань 2 виду – на 4 од. Знаючи, що для встановлення одного комплекту обладнання 1 виду потрібно 2 м² площі, а обладнання 2 виду – 1 м² площі, визначити такий набір додаткового обладнання, що дає можливість максимально збільшити випуск продукції.

10. З 4-х видів сировини необхідно скласти суміш, до складу якої має входити не менше 26 од. хімічної речовини А, 30 од. – речовини В і 24 од. речовини С. Кількість одиниць хімічної речовини, що міститься в 1 кг сировини кожного виду, зазначено в таблиці. У ній же наведена ціна 1 кг сировини кожного виду. Скласти суміш, що містить не менше потрібної кількості речовини даного виду і має мінімальну вартість.

Речовина	Кількість од. речовини в 1 кг сировини виду
	1	2	3	4
А	1	1	-	4
В	2	-	3	5
С	1	2	4	6
Ціна 1 кг сировини (грн.)	5	6	7	4

10. У трьох пунктах відправлення зосереджений однорідний вантаж у кількостях, відповідно рівних 420, 380 і 400 т. Цей вантаж потрібно перевезти в три пункти призначення в кількостях, відповідно рівних 260, 520 і 420 т. Вартість перевезень 1 т вантажу з кожного пункту відправлення в кожний пункт призначення є відомими величинами і задаються матрицею:

Знайти план перевезень, що забезпечує вивіз наявного в пункти відправлення і завіз необхідного в пунктах призначення вантажу при мінімальній загальній вартості перевезень.

10. При відгодівлі тварин кожна тварина щоденно має отримати не менше 60 одиниць поживної речовини А, не менше 50 од. речовини В і не менш 12 од. речовини С. Зазначені поживні речовини містять три види корму. Зміст одиниць поживних речовин в 1 кг кожного з видів корму наведено в таблиці. Скласти денний раціон, що забезпечує отримання необхідної кількості поживних речовин при мінімальних грошових витратах, якщо ціна 1 кг корму 1 виду становить 9 коп., 2 виду – 12 коп. і корму 3 виду – 10 коп.

Тип речовини	Кількість одиниць поживної речовини в 1 кг корму виду
	1	2	3
А	1	3	4
В	2	4	2
С	1	4	3

10. На швейній фабриці тканина може бути розкроєна кількома способами для виготовлення потрібних деталей швейних виробів. Нехай при j-му варіанті розкрою ( ) 100 м² тканини виготовляється b_ij деталей i-го виду ( ), а величина відходів при даному варіанті розкрою дорівнює c_j м².Знаючи, що деталей i-го виду слід виготовляти B_i штук, потрібно розкроїти тканину так, щоб було отримано необхідну кількість деталей кожного виду при мінімальних загальних відходах.

10. У m пунктах можуть бути розміщені підприємства, що виробляють деяку однорідну продукцію. Ця продукція надходить в п пунктів її споживання, причому в j-му пункті потреби в продукції дорівнюють a_j одиницям. Витрати, пов'язані з доставкою одиниці продукції з i-го пункту відправлення в j-й пункт споживання, складають c_ij грн. Відомо, що в i-му пункті виготовлення продукції максимальний обсяг її виробництва не може перевищувати b_i одиниць, а витрати, пов'язані з виготовленням одиниці продукції, складають d_i грн. Визначити таке розміщення підприємств, при якому забезпечуються потреби у продукції в кожному з пунктів її споживання при найменших загальних витратах, пов'язаних з виробництвом та доставкою продукції.

10. В аеропорту для перевезення пасажирів по n маршрутам може бути використано т типів літаків. Місткість літака i-го типу дорівнює a_i чоловік, а кількість пасажирів, що перевозяться по j-му маршруту за сезон, становить b_j чоловік. Витрати, пов'язані з використанням літака i-го типу на j-му маршруті, складають c_ij грн. Визначити, скільки літаків цього типу і на якому з маршрутів слід використовувати, щоб задовольнити потреби в перевезеннях при найменших загальних витратах.

10. Кондитерська фабрика для виробництва 3-х видів карамелі А, В і С використовує три види сировини: цукор, патоку і фруктове пюре. Норми витрати сировини кожного виду на виробництво 1 т карамелі даного виду наведені в таблиці. У ній же вказано загальну кількість сировини кожного виду, яке може бути використане фабрикою, а також наведено прибуток від реалізацій 1 т карамелі даного виду. Знайти план виробництва карамелі, що забезпечує максимальний прибуток від її реалізації.

Вид сировини	Норми витрат сировини (т) на 1 т карамелі			Загальна кількість сировини (т)
	А	В	С
Цукор	0,8	0,5	0,6	800
Патока	0,4	0,4	0,3	600
Фруктове пюре	-	0,1	0,1	120
Прибуток від реалізації 1 т	108	112	126

10. При вирощуванні певної культури (або груп споріднених культур) може бути використаний i-й вид добрив в кількості, що не більше ніж b_i кг ( ). Вся посівна площа містить n ґрунтово-кліматичних зон, причому площа j-ї зони дорівнює d_j га ( ).Внесення на кожен гектар площі j-ї зони 1 кг добрив i-го виду збільшує середню врожайність на c_ij центнерів. Потрібно розподілити виділений фонд добрив між посівними зонами так, щоб сумарний приріст врожайності культур за рахунок внесення добрив був максимальний.

10. Для виробництва n видів виробів підприємство використовує т груп взаємозамінного обладнання. Виробів i-го виду необхідно виготовити B_i одиниць ( ), причому j-а група обладнання може бути зайнята виготовленням виробів не більше, ніж b_j годин ( ).Час виготовлення одного виробу i-го виду на j-й групі устаткування одно a_ij годинах, а ціна виробництва дорівнює c_ij грн. Визначити, скільки виробів даного виду з використанням кожної з груп обладнання слід виготовити, щоб зробити потрібну кількість виробів кожного виду при найменшій загальної вартості їх виготовлення.

10. Пароплав може бути використаний для перевезення 5 найменувань вантажу, маса, об'єм і ціна одиниці кожного з яких наведені в таблиці.

Параметри одиниці вантажу	Номер вантажу
	1	2	3	4	5
Маса (т)	80	62	92	82	90
Об'єм (м3)	100	90	96	110	120
Ціна (тис.грн.)	4,4	2,7	3,2	2,8	2,7

На пароплав може бути завантажено не більше 800 т вантажу загальним обсягом, що не перевищує 600 м³. Визначити, скільки одиниць кожного вантажу слід помістити на пароплав так, щоб загальна вартість розміщеного вантажу була максимальною.

10. Для виробництва чавунного лиття використовується n різних шихтових матеріалів. Хімічний склад чавунного лиття визначається вмістом в ньому хімічних елементів. Готовий чавун повинен мати строго визначений хімічний склад, який задається величинами Н_j, що представляють собою частки (у %) j-го хімічного елемента в готовому продукті. При цьому відомі величини: h_ij – зміст (у %) j-го хімічного елемента в i-му шихтовому матеріалі; с_i – ціна одиниці кожного i-го шихтового матеріалу. Визначити склад шихти, що забезпечує отримання лиття заданої якості при мінімальній загальній вартості використовуваних шихтових матеріалів.

10. З листового прокату потрібно викроїти заготовки чотирьох видів. Один лист довжиною 184 см можна розрізати на заготовки довжиною 45, 50, 65 і 85 см. Всього заготовок кожного виду необхідно відповідно 90, 96, 88, 56 шт. Способи розрізу одного листа на заготовки і величина відходів при кожному способі наведені в таблиці.

Довжина заготовки (см)	Кількість заготовок, яка викроюється з одного аркуша при розрізі способом
	1	2	3	4	5	6	7
45	4	2	1	1	-	-	-
50	-	-	2	1	3	2	-
65	-	1	-	1	-	1	1
85	-	-	-	-	-	-	1
Відходи (см)	4	29	39	24	34	19	34

Визначити, яка кількість аркушів по кожному із способів слід розрізати, щоб отримати потрібну кількість заготовок даного виду при мінімальних загальних відходах.

10. Сталеві прути довжиною 110 см необхідно розрізати на заготовки довжиною 45,35 і 50 см. Необхідна кількість заготовок даного виду становить відповідно 40, 30 і 20 шт. Можливі варіанти розрізу і величина відходів при кожному з них наведені в таблиці.

Довжина заготовки (см)	Варіант розрізу
	1	2	3	4	5	6
45	2	1	1	-	-	-
35	-	1	-	3	1	-
50	-	-	1	-	1	2
Кількість відходів	20	30	15	5	25	10

Визначити, скільки прутів по кожному з можливих варіантів слід розрізати, щоб отримати не менш потрібної кількості заготовок кожного виду при мінімальних відходах.

10. Продукцією міського молочного заводу є молоко, кефір і сметана, розфасовані у пляшки. На виробництво 1 т молока, кефіру й сметани потрібно відповідно 1010, 1010 і 9450 кг молока. При цьому витрати робочого часу при розливі 1 т молока та кефіру складають 0,18 та 0,19 машино-год. На розфасовці 1 т сметани зайняті спеціальні автомати протягом 3,25 год. Всього для виробництва продукції завод може використовувати 136000 кг молока. Основне обладнання може бути зайнято протягом 21,4 машино-год., а автомати по фасуванню сметани – протягом 16,25 ч. Прибуток від реалізації 1 т молока, кефіру й сметани відповідно 300, 220 і 1360 грн. Завод повинен щодня проводити не менше 100 т молока, розфасованого в пляшки. На виробництво іншої продукції немає ніяких обмежень. Яку продукцію і в якій кількості слід щодня виготовляти заводу, щоб прибуток від її реалізації був максимальним.

10. М'ясокомбінат має у своєму складі чотири заводи, на кожному з яких може виготовлятися три види ковбасних виробів. Потужності кожного з заводів відповідно рівні 320, 280, 270 і 350 т/добу. Щоденні потреби у ковбасних виробах кожного виду також відомі і відповідно рівні 450, 370 і 400 т. Знаючи собівартість 1 т кожного виду ковбасних виробів на кожному заводі, що визначаються матрицею

Знайти такий розподіл випуску ковбасних виробів між заводами, при якому собівартість виготовленої продукції є мінімальною.

10. У m пунктах можуть бути розміщені підприємства, що виробляють деяку однорідну продукцію. Ця продукція надходить в n пунктів її споживання, причому в j-му пункті потреби в продукції дорівнюють A_j одиницям. Витрати, пов'язані з доставкою одиниці продукції i-го пункту відправлення в j-й пункт споживання, складають c_ij грн. Відомо, що в i-му пункті виготовлення продукції максимальний обсяг її виробництва не може перевищувати b_i одиниць, а витрати, пов'язані з виготовленням одиниці продукції, складають d_i грн. Визначити таке розміщення підприємств, при якому забезпечуються потреби у продукції в кожному з пунктів її споживання при найменших загальних витратах, пов'язаних з виробництвом та доставкою продукції.

10. На швейної фабрик тканина може бути розкроєне кількома способами для виготовлення потрібних деталей швейних виробів. Нехай при j-му варіанті розкрою ( ) 100м² тканини виготовляється b_ij деталей i-го виду ( ), а величина відходів при даному варіанті розкрою дорівнює c_j м².Знаючи, що деталей i-го виду слід виготовити b_i штук, потрібно розкроїти тканину так, щоб було отримано необхідну кількість деталей кожного виду при мінімальних загальних відходах.

11. При відгодівлі тварин кожна тварина щоденно має отримати не менше 60 од. поживної речовини А, не менше 50 одиниць речовини В і не менше 12 одиниць речовини С. Зазначені живильні речовини містять три види корму: Зміст одиниць поживних речовин в 1 кг кожного з видів корму наведено в таблиці. Скласти денний раціон, що забезпечує отримання необхідної кількості поживних речовин при мінімальних грошових витратах, якщо ціна 1 кг корму 1 виду становить 9 коп., корму 2 виду – 12 коп., та корму 3 виду – 10 коп.

Поживна речовина	Кількість одиниць поживних речовин в 1 кг корму виду
	1	2	3
A	1	3	4
B	2	4	2
C	1	4	3

10. У трьох пунктах відправлення зосереджений однорідний вантаж у кількостях, відповідно рівних 420, 380, 400 т. Цей вантаж необхідно перевезти в три пункти призначення в кількостях, відповідно рівних 260, 520 і 420 т. Вартість перевезень 1 т вантажу з кожного пункту відправлення в кожний пункт призначення є відомими величинами і задаються матрицею

Знайти план перевезень, що забезпечує вивіз наявного в пунктах відправлення і завезення необхідного в пунктах призначення вантажу при мінімальній загальній вартості перевезень

Завдання 2. Розв’язати задачу графічним методом

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.

13.	14.	15.
16.	17.	18.
19.	20.	21.

22.	23.	24.
25.	26.	27.
28.	29.	30.

Завдання 3. Розв’язати задачу симплекс-методом

1.	2.
3.	4.
5.	6.

7.	8.
9.	10.
11.	12.

13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.

21.	22.
23.	24.
25.	26.

27.	28.
29.	30.

Завдання 4. Побудувати двоїсту задачу та знайти її розв’язок графічним методом та з використанням оптимального рішення даної задачі знайдене симплекс-методом

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.

9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.

29.

30.

Завдання 5. Розв’язати транспортну задачу

1.	2.
3.	4.
5.	6.

7.	8.
9.	10.
11.	12.

13.	14.
15.	16.
17.	18.

19.	20.
21.	22.
23.	24.

25.	26.
27.	28.
29.	30.