7. При каких условиях вращательное движение тела ускоренное и при каких условиях – замедленное?

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает,— замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины со и е имеют одинаковые знаки, и замедленным,— когда разные. Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора е, направленного вдоль оси вращения. При этом Направление е совпадает с направлением со, когда тело вращается ускоренно, и противоположно со при замедленном вращении

8. Какие частные случаи вращательного движений твёрдого тела Вы знаете?

а) Равномерное вращение - вращение с постоянной угловой скоростью

( = const): ,  ,   .

Пусть при t = 0: = 0, тогда С = 0 и мы получаем следующее уравнение или закон равномерного вращения:

  .

в) Равнопеременное вращение - это вращение с постоянным угловым ускорением ( = const):

  ,  ,   ,  ,  ,  

  .

Пусть при t = 0:  и  = 0, тогда С1 =  , C2 = 0. Подставляя найденные значения констант интегрирования в полученные выше выражения, получаем:  ,   . 

В полученном законе изменения угловой скорости и в уравнении равнопеременного вращения, угловое ускорение  будет положительным при равноускоренном вращении и отрицательным при равнозамедленным.

В заключение приведем вполне очевидные соотношения, которые часто используются при решении задач:

  ,   где N - число оборотов, n - угловая скорость в оборотах в минуту.

9. Как рассчитываются скорость и ускорение точки вращающегося тела?

Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения. При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол dф, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение ds=hdф. Тогда числовое значение скорости точки будет равно отношению ds к dt, т. е. Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Так как скорость    направлена по касательной к окружности, по которой движется точка  , а касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, то вектор    скорости любой точки вращающегося тела направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через точку    и ось вращения. Ускорение точки    складывается из касательной и нормальной составляющих. Касательная составляющая ускорения направлена по одной прямой со скоростью и в ту же сторону, что и скорость, если движение уско­ренное, и в противоположную сторону, если движение замедленное.   .  Нормальная составляющая ускорения направлена от точки    к оси вращения. Так как радиус кривизны в данном случае равен радиусу окружности, которую описывает точка, то    

Чтобы найти выражения непосредственно для векторов v и а, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор г точки М. Тогда h=r sin a и

Таким образом, - модуль векторного произведения равен модулю скорости точки М. Направления векторов тоже

совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размернсти их одинаковы. Следовательно, т. е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой

точки.

Беря от обеих частей равенства производные по времени, получим

Вектор направлен, как и вектор , т. е. по касательной к траектории точки М, а . Вектор же направлен вдоль МС, т. е. по нормали к траектории точки М, а Учитывая все