3. Дайте определение скорости и ускорения точки: при векторном способе задания движения точки; при координатном и естественном способах.

Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени. Пусть движущаяся точка находится в момент времени t в положении М, определяемом радиусом-вектором г, а в момент t1 приходит в положение Ml определяемое вектором t1Тогда перемещение точки за промежуток времени определяется вектором ММ1 который будем называть вектором перемещения точки. Этот вектор направлен по хорде, если точка движется криволинейно, и вдоль самой траектории АВ, когда движение является прямолинейным.

Из треугольника видно, что следовательно, Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую средней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени дельта t:

Направлен вектор так же, как и вектор т. е. при криволинейном движении вдоль хорды ММ1 в сторону движения точки, а при прямолинейном движении— вдоль самой траектории. Чтобы получить точную характеристику движения, вводят понятие о скорости тонкие данный момент времени. Скоростью точки в данный момент времени t называется векторная величина v, к которой стремится средняя скорость при стремлении промежутка времени дельтаt к нулю:

Предел отношения при представляет собой первую производную от вектора г по аргументу t и обозначается, как и производная от скалярной функции, символом Окончательно получаем

Формула показывает также, что вектор скорости v равен отношению элементарного перемещения точки , направленного по касательной к траектории, к соответствующему промежутку времени dt. При прямолинейном движении вектор скорости v все время направлен вдоль прямой, по которой движется точка, и может изменяться лишь численно; при криволинейном движении кроме числового значения все время изменяется и направление вектора скорости точки. Размерность скорости обычно м/с или км/ч.

Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки. Пусть в некоторый момент времени движущаяся точка находится в положении М и имеет скорость, а в момент t1 приходит в положение М1 и имеет скорость v1 Т огда за промежуток времени дельтаt=t1—t скорость точки получает приращение .

Для построения вектора отложим от точки М вектор, равный и построим параллелограмм, в котором диагональю будет a одной из сторон v. Отношение приращения вектора скорости к соответствующему промежутку времени определяет вектор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:

Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и вектор Av, т. е. направлен в сторону вогнутости траектории.

Ускорением точки в данный момент времени t называется векторная величина а, к которой стремится среднее ускорение аср при стремлении промежутка времени At к нулю:

Следовательно, вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

Размерность ускорения обычно м/с2.

При прямолинейном движении вектор а направлен вдоль прямой, по которой движется точка. Если траекторией точки является плоская кривая, то вектор ускорения а, так же как и вектор аср, лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор аср направлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, параллельную касательной в соседней точкеМг.

1. Определение скорости точки. Вектор скорости точки . Отсюда .

Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени. Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т. е. углы, которые вектор образует с координатными осями

2. Определение ускорения точки. т. е. проекции ускорения точки на координатные оси равны первым

производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения