11. Примеры наиболее важных систем двух случайных величин.

1. Равномерное распределение в области D системы двух случайных величин (X, Y)

Система двух случайных величин (X, Y) называется равномерно распределенной в области D, если совместная плотность f(x,y) случайных величин X и Y имеет вид _.

Постоянная С может быть определена: , откуда . Здесь S(D) – площадь области D. Поэтому .

2. Нормальное распределение вектора (X, Y.)

Случайный вектор (X, Y) называется распределенным по нормальному закону (закону Гаусса), если

_.

Это распределение имеет пять параметров: . Можно показать, что , , r – коэффициент корреляции, выражающий связь между компонентами X и Y случайного вектора (X, Y).

12. Условные законы распределения.

Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина, входящая в систему, приняла определенное значение, называется условным законом распределения этой случайной величины.

Условным распределением компоненты X системы при называется совокупность условных вероятностей:

.

Аналогично определяется условное распределение компоненты Y системы (X,Y).

Используя теорему умножения двух случайных событий, соответствующих данной ситуации, условный закон распределения X при условии, что может быть найден по формулам:

.

13. Плотность вероятностей и условные законы распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины.

Условной плотностью компоненты X при данном значении Y = y называют отношение плотности совместного распределения системы (X,Y) к плотности компоненты Y: .

Различие между условной плотностью и безусловной плотностью состоит в том, что функция определяет распределение X при условии, что Y принимает значения Y = y, а функция определяет распределения X независимо от того, какие значения принимает Y.

Аналогично определяется условная плотность компоненты Y при данном значении X = x:

.

Формулы можно записать в виде

.

Как и любая плотность распределения, условные плотности обладают следующими свойствами:

^{; .}

Условные законы распределения независимых случайных величин равны их безусловным законам. .

14. Числовые характеристики системы двух случайных величин.

Если закон распределения системы неизвестен (или не может быть построен), используют числовые характеристики системы.

Начальным моментом порядка k+s системы (X,Y) называется математическое ожидание произведения k-й степени X на s-ю степень Y: .

Формулы для начальных моментов :

- для системы (X,Y) дискретного типа: ;

- для системы (X,Y) непрерывного типа: .

На практике наиболее употребительными являются начальные моменты первого порядка: , , которые являются математическими ожиданиями компонент системы (X,Y).

Точку называют центром рассеивания системы на плоскости.

Центральным моментом порядка k+s системы (X,Y) называется математическое ожидание произведения k-й и s-й степеней соответствующих центрированных величин:

.

Формулы для вычисления моментов имеют следующий вид:

- для системы (X,Y) дискретного типа ;

- для системы (X,Y) непрерывного типа .

Наибольшее применение имеют центральные моменты второго порядка. Два из них представляют собой известные ранее дисперсии величин X и Y:

,

.