8. Системы случайных величин. Закон распределения системы двух случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин.

X\Y			· · ·
			· · ·
			· · ·
·	·	·	· · ·	·
			· · ·

При изучении случайных явлений в зависимости от их сложности приходится рассматривать две, три и большее число случайных величин. Например, точка попадания снаряда определяется не одной, а двумя случайными величинами: абсциссой и ординатой. Совместное рассмотрение двух или нескольких случайных величин приводит к системе случайных величин. Условимся обозначать систему нескольких случайных величин (X, Y, Z, ..., W).

Пусть X и Y – случайные величины дискретного типа. Тогда закон распределения системы (X, Y) может быть представлен в виде таблицы распределения системы дискретных случайных величин.

Здесь .

Все возможные события , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n образуют полную группу попарно несовместных событий, поэтому .

Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов , равная вероятности совместного выполнения двух неравенств , т. е.

9. Функция распределения системы двух случайных величин. Свойства функции распределения.

Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов , равная вероятности совместного выполнения двух неравенств , т. е.

Свойство 1. Если один из аргументов стремится к , то функция распределения системы стремится к функции распределения одной случайной величины, соответствующей другому аргументу, т. е.

или

Свойство 2. Если оба аргумента стремятся к , то функция распределения системы стремится к единице, т. е. или .

Свойство 3. При стремлении одного или обоих аргументов к функция распределения стремится к нулю, т.е. или .

Свойство 4. Функция распределения F(x, y) является неубывающей функцией по каждому аргументу, т.е. для : ; для : .

10. Системы случайных величин непрерывного типа Плотность вероятности, ее свойства.

Система двух случайных величин (X, Y) называется непрерывной, если существует кусочно-непрерывная неотрицательная функция и такая, что для любых x, yR имеет место равенство .

Функция f(x,y) называется плотностью вероятности системы двух случайных величин или, иначе, совместной плотностью случайных величин X и Y.

Плотность вероятности обладает следующими свойствами

Св. 1. В точках непрерывности f(x,y) справедливо равенство .

Св. 2. Для любой области имеем .

Св. 3 (условие нормировки). .

Св. 4. Каждая компонента непрерывной системы двух случайных величин имеет плотность вероятности, которая вычисляется по одной из формул:

, .