20.Центральные моменты случайных величин. Дисперсия, ее свойства.

Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется число µ_k = M (X - MX)^k,

Поэтому для случайной величины дискретного типа имеем µ_k = (x_i - MX)^k,

а для случайной величины непрерывного типа µ_k = (x-MX)^kf(x)dx.

При k = 2 центральный момент второго порядка µ₂ называется дисперсией случайной величины, т.е. DX = M(X – MX)².

Для случайной величины дискретного и непрерывного типов имеем соответственно формулы:

DX = (x_i - MX)² p_i ,

DX = (x -MX)²f(x)dx.

Свойство 1. Дисперсия константы равна нулю, т.е. DC = 0.

Свойство 2. D(CX) = C²DX, иначе постоянный множитель выносится с квадратом из-под знака дисперсии.

Свойство 3. Если Х и Y — независимые случайные величины, то дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.

D(X + Y) = DX + DY.

1. Задачи вычисления дисперсии для некоторых наиболее важных случайных величин.

Найти дисперсию случайной величины с нормальным законом распределения.

Решение. Для случайной величины с нормальным законом распределения плотность вероятностей имеет ви f(x) =

Имеем

DX = (x-MX)²f(x)dx = = = = , т.е. DX = .

Найти дисперсию случайной величины с биномиальным законом распределения.

Решение. Для этой случайной величины X – число ''успехов'' в n испытаниях Бернулли. В задаче 2.3.2 показано, что МХ = np. Найдем DX. Введем следующие случайные величины: Х₁ – число ''успехов'' в 1-м испытании; Х₂ – число ''успехов'' во 2-м испытании и т.д. Х_n – число ''успехов'' в n-м испытании.

Тогда Х = Х₁ + Х₂ + ... + Х_n и DX = DX₁ + DX₂ + ... + DX_n.

Найдем математическое ожидание и дисперсию любого из слагаемых, например, Х₁. Имеем

Х1	0	1
Р	q	p

MX = 0 ×q + 1 × p = p, DX₁ = (0 - p)² q + (1 - p)²p = p²q + q²p = pq(p +q) = pq.

Тогда DX = npq .

Найти дисперсию случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

Можно показать, что DX = .

Кроме центрального момента второго порядка, в теории вероятностей применяются центральные моменты третьего и четвертого порядков.

Центральный момент третьего порядка µ₃ служит характеристикой асимметрии (''скошенности'') распределения. Так как µ₃ имеет размерность куба случайной величины, рассматривают отношение µ₃ к среднему квадратическому отклонению в третьей степени .

Величина a_x называется коэффициентом асимметрии. Если кривая распределения ”скошена” влево, a_x > 0; если ''скошена'' вправо – a_x < 0.

Если µ₃ = 0 кривая распределения симметрична относительно своего математического ожидания, то a_x = 0.

Центральный момент четвертого порядка μ₄ служит для характеристики островершинности или плосковершинности распределения. Это свойство распределения описывается с помощью так называемого эксцесса. Эксцессом случайной величины Х называется величина . Число 3 вычитается из отношения , так как для наиболее распространенного нормального закона распределения , а, следовательно, C_x = 0; кривая нормального распределения принята в качестве эталона. Кривые более островершинные имеют положительный эксцесс; кривые более плосковершинные — отрицательный эксцесс.