17.Примеры случайных величин непрерывного типа.
1. Случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [а, b]
Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если ее плотность вероятности имеет вид
f(x)
= 
.
2. Случайная величина с нормальным законом распределения
Случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону (закону Гаусса), если ее плотность вероятности имеет следующий вид:
,
–∞ < x
<∞,
где
С(C > 0), а, (
> 0) –
некоторые константы.
3. Случайная величина с показательным законом распределения
Случайная величина имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если ее плотность вероятности имеет следующий вид:
f
=
где
–
параметр показательного распределения.
18.Начальные моменты случайных величин. Математическое ожидание, его свойства.
Начальным моментом k-го порядка называется:
1)
для случайной величины дискретного
типа:
;
;
2)
для случайной величины непрерывного
типа:
.
Если k = 1, начальный момент первого порядка 1 называется математическим ожиданием случайной величины.
Для
случайной величины дискретного типа:MX
=
.
Для
случайной величины непрерывного типа:
MX
=
.
Математическое ожидание выражает ''среднее'' значение случайной величины с учетом вероятностей ее значений.
Св. 1. Математическое ожидание константы равно этой константе, т.е. М(С)=С.
Св. 2. М(СХ) = СМХ, иначе постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.
Св. 3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е. M(X + Y) = MX + MY.
Св. 4. Если две случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий, т.е. М(XY) = МХМY.
19.Задачи вычисления математического ожидания для некоторых наиболее важных случайных величин.
Найти математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону Пуассона.
Решение. Ряд распределения случайной величины, распределенной по закону Пуассона, имеет вид
X |
0 |
1 |
2 |
... |
m |
... |
|
P |
|
|
|
... |
|
... |
Здесь для вероятностей была использована формула Пуассона
Р(Х
= m)
=
.
Имеем
MX = 0e
+
1
e
+ 2
e
+ ... =
=
=
e
=
e
=
e
= e
e
=
.
Здесь
было использовано разложение в ряд
Маклорена ex
=
.
Таким образом, МХ = .
Найти математическое ожидание случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [a, b].
Решение. Используя формулу (2.3.4), имеем (см. пример 1 п. 2.2):
MX
=
=
=
=
.
Найти математическое ожидание случайной величины с нормальным законом распределения.
Решение. Используя формулу (2.3.4) и пример 2 п. 2.2, имеем:
MX
=
=
=
=
=
=
+
=
a,
так
как
= 0 и
=
,
то MX = a.
Найти математическое ожидание случайной величины с показательным законом распределения.
Решение.
Имеем: MX =
=
=
= 1/λ
.