13.Случайная величина дискретного типа. Законы распределения.

Случайной величиной называется однозначная функция X(ω), определенная на Ω, для которой множество вида , т.е. является множеством, элементы которого являются случайными событиями для любого .

Случайная величина называется случайной величиной дискретного типа, если множество ее возможных значений является конечным или счетным множеством.

Простейшей формой закона распределения случайной величины дискретного типа является ряд распределения, представляющий собой таблицу, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

Х	х1	х2	...	хn
P	p1	p2	...	pn

Здесь p_i = Р(Х = х_i), i = (вероятность того, что случайная величина Х принимает значение x_i). При этом p_i = 1.

14.Примеры случайных величин дискретного типа.

1. Случайная величина биномиального типа

В схеме независимых испытаний Бернулли случайной величиной является Х – число ''успехов'' в n независимых испытаниях; она и называется случайной величиной с биномиальным законом распределения. Значения, которые может принимать эта случайная величина – 0, 1, 2, ..., n; вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли:

.

Ряд распределения этой случайной величины имеет вид

Х	0	1	2	3	...	n	.
Р	Pn(0)	Pn(1)	Pn(2)	Pn(3)	...	Pn(n)

2. Случайная величина с геометрическим законом распределения

Случайной величиной с геометрическим законом распределения называется Х – число испытаний до первого ''успеха'' в схеме независимых испытаний Бернулли. Ряд распределения этой случайной величины имеет вид

X	1	2	3	...	k	...	.
Р	р	qp	q2p	...	qk-1p	...

3. Случайная величина, распределенная по закону Пуассона

Случайной величиной, распределенной по закону Пуассона, называется случайная величина Х, принимающая любые целые неотрицательные значения, вероятности которых вычисляются по формуле Пуассона: Р(k) = , k = 0, 1, 2, ... .

Здесь – параметр этого распределения. Известно, что случайная величина, распределенная по закону Пуассона, является предельным случаем биномиального распределения при n и p 0 (np = ).

Ряд распределения этой случайной величины имеет вид

Х	0	1	2	...	K	...	.
P				...		...

15.Свойства функции распределения случайной величины.

1. Функция распределения является неубывающей функцией на (‑ , ).

2. Р(x₁ X < x₂) = F(x₂) - F(x₁).

3. Функция распределения F(x) случайной величины непрерывна слева в х  (– , ), т.е. F(x – 0) = F(x).

4. Для х (-∞,∞) Р(Х  x) = F(х + 0).

5. Р(x₁  X  x₂) = F(х₂ + 0) – F(x₁).

16.Случайная величина непрерывного типа. Свойства плотности вероятностей.

Случайная величина Х называется случайной величиной непрерывного типа, если существует неотрицательная функция f(x), определенная на (- , ) и такая, что функция распределения F(x) имеет вид F(x) = , –∞ < x < ∞.

Свойство 1. Р(x₁ X < x₂) = .

Свойство 2. Р(Х = х) = 0.

Свойство 3. (Условие нормировки) = 1

Свойство 4. В точках x непрерывности f(x) выполняется равенство F'(х) = f(x),т.е. F(x) является первообразной для f(x).