9.Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть событие А может произойти с одним и только с одним из событий В₁,В₁,...,В_n (называемых впредь гипотезами), которые образуют полную группу попарно несовместных событий. Пусть даны вероятности этих гипотез Р(В₁),...,Р(В_n), а также условные вероятности события А при условиях этих гипотез Р(А/В₁),..., Р(А/В_n). Требуется определить Р(А).

Имеем очевидное равенство Α = Α·Β₁+Α·Β₂+…+А·В_n.

Применяя последовательно аксиому сложения для несовместных событий, а затем теорему умножения для каждого слагаемого суммы, имеем

Р(А) = Р(В₁)· Р(A/В₁)+...+P(B_n)· Р(А/В_n)

Или P(A)= которая называется формулой полной вероятности.

Пусть теперь при прежних условиях относительно случайных событий А и гипотез В₁, В₂, …, В_n известен результат опыта, т. е. известно, что событие А произошло. Требуется найти апостериорные вероятности Р(В_i/A), i=l, 2, ..., n - вероятности гипотез после опыта. Используя теорему умножения вероятностей, имеем P(AB_i) = Р(B_i)P(А/B_i) = = P(A)P(B_i/A).

Из последнего равенства получим формулу Байеса , i=1, 2, …, n,

где Р(А) вычисляется предварительно по формуле полной вероятности.

10.Геометрические вероятности.

В некоторых случаях пространство элементарных событий  содержит несчетное множество исходов. В этом случае аксиоматическое определение вероятности случайного события представляет определенные сложности, главным образом, в части ее счетной аддитивности.

Этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, находя вероятность попадания точки в некоторую область, имеющую меру (длину – для отрезка; площадь для области на плоскости; объем для области в пространстве). Например, если поставлена задача о вероятности попадания точки в некоторую область A, являющуюся частью области попадания , при условии, что эта вероятность не зависит от положения области A в области , а зависит лишь от меры области A, то эту вероятность можно определить по следующей формуле: Р(А)=m(A)/m().

11.Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. Формула Пуассона.

Пусть имеем серию n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое случайное событие А наступает с одной и той же вероятностью p = P(A), не изменяющейся от испытания к испытанию. Само событие А условно называется “успехом” (обозначается впредь У в отличие от “неуспеха”, обозначаемого H), а последовательность n независимых испытаний с двумя исходами У и H называется последовательностью независимых испытаний Бернулли.

Формула Бернулли: P_n(k)= p^kq^n-k.

Частные случаи формулы Бернулли.

1.Вероятность того, что в n испытаниях "успех" наступит n раз, равна .

2.Вероятность того, что в n испытаниях Бернулли "успех" вообще не наступит, равна .

3.Вероятность того, что в n испытаниях Бернулли "успех" наступит не более чем m раз, равна

P(k m) = P_n(0) + P_n(l) + ... + P_n(m)=

4.Вероятность того, что "успех" наступит в n испытаниях не менее m раз, равна

P(k m) = P_n(m) + P_n(m-l)+... + P_n(n) =

Формула Пуассона: , где λ =np. В этой формуле параметры n и р объединены в один параметр λ = np; n должно быть не менее нескольких десятков, а лучше сотен, а значение параметра λ = np должно находиться между 0 и 10. При больших λ рекомендуется применять локальную теорему Лапласа.