5.Элементы комбинаторики.

Перестановки. Различные представления n элементов называют их перестановками. Число перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n:

Р(n)= 1·2·3···n=n!

Размещения. Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, содержащее m элементов, называют размещением из n элементов по m. Размещения из n элементов по m – это все m-элементные подмножества, различающиеся хотя бы одним элементом или порядком их следования. Число размещений из n элементов по m обозначают и вычисляют по формуле

Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее m элементов, называется сочетанием из n элементов по m. Все сочетания из n элементов по m – это все m-элементные подмножества, различающиеся друг от друга хотя бы одним элементом; все m-элементные подмножества, отличающиеся друг от друга порядком следования элементов, не считаются различными. Число сочетаний из n элементов по m обозначают и вычисляют по формуле:

6.Аксиомы вероятности.

1.F является σ-алгеброй случайных событий.

F будем называть σ-алгеброй событий, если для любой счетной последовательности случайных событий {A_i}, i = 1,2,…, A_iF, их объединение , т.е. является случайным событием. Из принципа двойственности следует, что и .

2.На σ-алгебре F определена функция Р(·), принимающая для любых неотрицательные значения, т.е. Р(А) 0.

3.Для любых двух несовместных событий А,ВF имеет место равенство Р(А+В)=Р(А)+Р(В), называемое аксиомой сложения вероятностей.

4.Для произвольной счетной последовательности {A_i} несовместных событий имеет место равенство .Эта теорема определяет счетную аддитивность вероятности, иначе называемую аксиомой непрерывности вероятности.

5.Р(Ω)=1.

Пространство элементарных событий Ω, σ-алгебра событий F и вероятность Р(·) на F, удовлетворяющие 5-ти аксиомам вероятности определяют вероятностное пространство, обозначаемое (Ω, F, P).

7.Теоремы о вероятностях.

Теорема 1. Для любого события имеет место следующее равенство: .

Теорема 2. Если , то Р(А\В)=Р(А)–Р(В).

Теорема 3. Для любых двух случайных событий А и В F имеет место равенство

.

Теорема 4. Для произвольных случайных событий А₁, А₂, …, А_n F имеет место равенство

.

Теорема 5. Вероятность невозможного события  равна нулю.

Теорема 6. Для любого случайного события АF имеем .

Теорема 7. Для любых случайных событий А,ВF имеет место следующее равенство:

Р(АВ)=Р(B)Р(А/В) или Р(АВ)=Р(А)Р(В/А).

Эта теорема называется теоремой умножения вероятностей.

Теорема 8. Для любого конечного числа случайных событий А₁, А₂, …, А_nF имеем

Р(А₁А₂…А_n)=Р(А₁)Р(А₂/А₁)Р(А₃/А₁А₂)… Р(А_n/А₁А₂…А_n-1).

8.Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.

Пусть имеем вероятностное пространство (, F, Р). Введем условную вероятность события А при условии, что произошло событие В, с помощью следующего равенства:

P(A/B)=P(AB)/P(B), Р(В)>0.

Аналогично определяется условная вероятность события В при условии, что А произошло:

P(B/A)=P(AB)/P(A), Р(А)>0.

Для любых случайных событий А,ВF имеет место следующее равенство:

Р(АВ)=Р(B)Р(А/В) или Р(АВ)=Р(А)Р(В/А).

Эта теорема называется теоремой умножения вероятностей.

Два случайных события А и В называются независимыми, если вероятность любого из них не изменяется в зависимости от того, произошло другое событие или не произошло.

В случае независимых случайных событий Р(А/В)=Р(А) и Р(В/А)=Р(В); поэтому теорему умножения для независимых случайных событий можно переписать в виде Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Во многих случаях это равенство используют в качестве определения независимых случайных событий. Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай любого конечного числа случайных событий.