22. Точечные оценки параметров генеральной совокупности по выборочным совокупностям, их свойства. Точечные оценки для математического ожидания и дисперсии св.

Случайная величина

,построенная на основе статистических данных, называется оценкой (точечной оценкой) параметра

_{Свойства:}

1. Несмещенность. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру , т.е. .

В противном случае (если ) оценка называется смещенной.

В качестве оценки брать несмещенные оценки.

2. Состоятельность. Оценка называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру a при неограниченном возрастании n: при .

3. Эффективность. Оценки, обладающие свойством несмещенности и состоятельности, при ограниченном числе опытов могут отличаться дисперсиями. Чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность грубой ошибки при определении приближенного значения параметра. Поэтому необходимо, чтобы дисперсия оценки была минимальной, т.е. чтобы выполнялось условие: .

Оценка для математического ожидания случайной величины

Пусть исследуется случайная величина X с математическим ожиданием . Обозначим через x₁, x₂,..., x_n значения случайной величины, полученные в результате n независимых равноточных опытов, т.е. измерений, которые проводились в одинаковых условиях. В качестве оценки для примем среднее арифметическое наблюдаемых значений

.

в дальнейшем принято называть выборочной средней.

Оценка является несмещенной, так как .

Оценка является состоятельной, так как по теореме Чебышева (частный случай) имеем при .

Оценка для дисперсии случайной величины

В качестве оценки для дисперсии рассмотрим следующую величину:

.

Оценку принято называть выборочной дисперсией. Проверим ее на состоятельность и несмещенность. Преобразуем выражение к другому виду:

.

Первый член в выражении представляет собой среднее арифметическое n наблюдаемых значений случайной величины X², значит он сходится по вероятности к MX². Второй член сходится по вероятности к . Следовательно, правая часть сходится по вероятности к величине , что означает, что оценка (5.2.8) состоятельная.

Теперь проверим, является ли выборочная дисперсия несмещенной оценкой:

.

Так как дисперсия не зависит от того, в какой точке выбрать начало координат, выберем его в точке ; затем найдем математическое ожидание величины . Имеем .

В силу независимости случайных величин , , и, следовательно,

. Очевидно, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой.

23. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Нахождение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии нормального распределения случайной величины.

Для точности оценки в математической статистике используют доверительные интервалы. Пусть для параметра распределения случайной величины Х получена несмещенная оценка . Задаем достаточно высокую вероятность (например, ) и находим такое значение  > 0, для которого

.

Равенство можно переписать в другом виде

.

Последнее равенство (5.3.2) можно истолковать следующим образом: неизвестное значение параметра а с вероятностью попадает в интервал .

Но так как неизвестное значение параметра является неслучайной величиной, оценка этого параметра – случайной, то равенство можно истолковать более точно следующим образом: интервал с высокой вероятностью покрывает неизвестный параметр .

Интервал называется доверительным интервалом; центр его находится в точке , радиус его . Вероятность называется доверительной вероятностью или надежностью.

Итак, доверительный интервал – это интервал с центром в точке и радиусом , который с высокой вероятностью (надежностью) покрывает неизвестный параметр .

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения случайной величины с известным 

Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией ². Пусть произведено n независимых опытов и на основании статистических данных получено выборочное среднее:

Задаем достаточно высокую доверительную вероятность . Требуется построить доверительный интервал . Прежде всего, заметим, что случайная величина также имеет нормальное распределение . Действительно,

;

Вероятность попадания случайной величины с нормальным законом распределения в симметричный интервал с центром в точке и радиусом ε равен

Обозначая , имеем Ф(t) = /2. Затем находим t по значению Ф(t) = /2; отсюда находится : . Таким образом, доверительный интервал имеет вид .