18. Теорема Чебышева. Лемма Чебышева II. Теорема Чебышева (основная).

Теорема Чебышева. Пусть – последовательность попарно независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены в совокупности: . Тогда последовательность сходится по вероятности к нулю, т.е. для при , иначе

при .

Лемма Чебышева 2. Пусть имеем последовательность случайных величин, причем , при . Тогда при .

Теорема Чебышева имеет большое практическое значение и устанавливает связь между средним арифметическим наблюдаемых в опыте значений случайной величины и ее математическим ожиданием; оказывается, эта случайная величина является устойчивой в том смысле, что при соблюдении некоторых условий сходится по вероятности к определенной неслучайной величине.

19. Теорема Бернулли.

Теорема Я.Бернулли является исторически первой формой закона больших чисел. Она устанавливает связь между частотой некоторого события (успеха) в схеме независимых испытаний Бернулли и его вероятностью. Доказательство, данное Бернулли, было весьма сложным. Простое доказательство было дано П.Л.Чебышевым как прямое следствие его теоремы.

Теорема Бернулли. Пусть имеем схему независимых испытаний Бернулли и р-вероятность успеха в каждом испытании. Тогда частота успехов в испытаниях стремится по вероятности к р при , т.е. при _.

Теорема Бернулли является теоретическим обоснованием практического определения вероятностей с помощью относительной частоты . Закон больших чисел Бернулли утверждает, что для любого ε>0 и для фиксированного достаточно большого очень правдоподобно, что частота будет отклоняться от вероятности по модулю меньше, чем на . Отсюда, однако, не следует, что останется малой для всех достаточно больших п. Теорема Бернулли гарантирует лишь, что эти отклонения могут появляться весьма редко.

20. Понятие о центральной предельной теореме.

Центральная предельная теорема устанавливает условия, при которых указанный предельный закон является нормальным.

Пусть последовательность случайных величин. Говорят, что последовательность сходится к случайной величине по распределению, если

в каждой точке x непрерывности ; здесь – функция распределения случайной величины Х; – функция распределения случайной величины X_n.

Центральная предельная теорема допускает несколько формулировок. Одна из наиболее простых форм ее имеет вид:

ЦПТ-1. Пусть - последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин, для которых . Тогда последовательность ,

сходится по распределению к нормальному распределению , т.е.

,

где – функция распределения случайной величины .

21. Математическая статистика. Генеральная совокупность. Выборка. Статистический ряд. Статистическая функция распределения. Гистограмма.

Задачи мат. статистики имеют дело с методами обработки опытных данных, относящихся к наблюдениям над случайными массовыми явлениями. Типичными задачами мат. статистики являются следующие: оценка на основании результатов измерений неизвестного распределения; оценка неизвестных параметров распределения; статистическая проверка гипотез. Одним из центральных вопросов мат. статистики является вопрос оценки параметров распределения. Первые результаты в этой области получены К.Ф. Гауссом (1809) и А.А. Марковым (1900).

В мат. статистике изучение случайной величины связано с выполнением ряда независимых опытов, в которых она принимает определенные значения. Полученные значения случайной величины представляют собой статистическую совокупность или статистический ряд, подлежащий осмыслению, обработке и научному анализу.

Х			...
nx			...
Wx			...

Выборочной совокупностью, или просто выборкой, называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность значений признака объектов, из которой производится выборка.

Для графического изображения статистического ряда используют полигоны и гистограммы.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из вышеупомянутых прямоугольников.

Статистической (эмпирической) функцией распределения (иначе функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения х относительную частоту события : ,

где – число наблюдений, при которых значение признака X меньше x; n – объем выборки.