Решение: возьмем

Тогда соответствующие последовательности значений функции таковы:

Следовательно,

, т.е. не существует

Замечание 2: Пример 2 показывает, что вывод о наличии предела функции нельзя делать, исходя из последовательности {x_n} частного вида (например, исходя из x_n^'' =1+ ), а нужно рассматривать произвольную последовательность {x_n }, имеющую заданный

предел а.

Пример 3: Пользуясь " – " определением предела, доказать, что

Р ешение: Надо доказать, что для >0 существует такое _ >0, что из неравенства 0 < |x-1| < _ следует, что |f(x)-1| < , f(x)=4x-3. Зададим

 > 0 и рассмотрим выражение: |f (x)-1|=|4x-3-1|= 4|x-1|.

Если взять _ ≤ /4, то для всех х, удовлетворяющих неравенству |x-1| < _, будем иметь |f(x)-1| = 4|x-1|<4_ ≤ 4/4=.

Следовательно,

Пример 4: f(x)=1/(x-1) доказать, что

Решение: По определению , если для  М>0 можно подобрать _М>0, что для всех ха, удовлетворяющих неравенству

0<|x-a|<, будет выполняться условие >M. В нашем случае по заданному M>0 будем подбирать _М из условия

| 1/|x-1|>M  |x-1|<1/M.

Следовательно, положив _M=1/М, получим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|x-1|<_M, выполняется неравенство M, значит,

Вычисление предела функции.

При вычислении предела функции необходимо знать следующие

теоремы:

Кроме того, надо пользоваться тем, что для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения справедливо равенство:

(в силу непрерывности, Л.р. №7)

Этими простейшими пределами можно пользоваться как формулами:

Более сложные случаи нахождения предела функции: ,[1^] рассматриваются далее в отдельности.

Пример 1.Найти предел:

Решение:

Разлагаем знаменатель на множители:

Здесь нет сокращения на нуль, что никогда недопустимо. Согласно определению предела функции аргумент х стремиться к своему предельному значению 2, никогда с ним не совпадая.

Пример 2. Найти предел:

Решение:

Пример 3. Найти предел:

Решение:

(Применяем тригонометрическую формулу так, чтобы использовать первый замечательный предел).

Пример 4. Найти предел:

Решение:

Деля числитель и знаменатель на наивысшую степень х (на х²), находим

Случай, когда при ха или х функция f(x) представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую , приводится путем преобразования функции к одному из двух рассмотренных случаев, т.е. к или к .

Случай, когда при ха или х функция f(x) представляет разность двух положительных бесконечно больших величин , можно привести к случаю или путем преобразования функции к дроби.

Пример 5. Найти следующий предел:

Решение:

Непрерывность и точки разрыва функции.

Если ищется предел функции при условии, что аргумент , стремясь к своему предельному значению а, может принимать только такие значения, которые меньше а, то этот предел, если он существует, называется левосторонним (левым) пределом данной функции в точке =а и условно обозначается так:

=

Аналогично можно сформулировать определение правостороннего (правого) предела данной функции, который обозначается так:

=

Теорема. Функция непрерывна при =а тогда и только тогда, когда:

1) функция определена не только в точке , но и в некотором интервале, содержащем эту точку;

2)функция имеет при а конечные и равные между собой односторонние пределы;

3)односторонние пределы при а совпадают со значением функции в точке а, т.е.

Если для данной функции в данной точке =а хотя бы одно из перечисленных трех условий не выполняются, то функция называется разрывной в точке =а.

Локальные свойства. Локальными называют такие свойства функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно малой окрестности точки области определения.

Теорема. Пусть –функция, непрерывная в точке а. Тогда справедливы следующие утверждения:

1⁰ Функция ограничена в некоторой окрестности точки а.

2⁰ Если ,то в некоторой окрестности точки а все значения функции положительны или отрицательны вместе с .

3⁰ Если функция определена в некоторой окрестности точки а и,как и , непрерывна в самой точке а,то функции:

a) ,

b) ,

c) , определены в некоторой окрестности точки а и непрерывны в точке а.

4⁰ Если функция непрерывна в точке b, а функция такова что и непрерывна в точке а ,то композиция определена на и также непрерывна в точке а.

Опр.1. Если точка разрыва функции такова , что существуют конечные и равные , но , то называется точкой устранимого разрыва функции .

Опр.2. Разрыв функции в точке =а называется разрывом первого рода, если односторонние пределы слева и справа существуют, но не равны между собой. Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен ∞, разрыв в этой точке называется разрывом второго рода.

Опр.3. Скачком функции в точке разрыва называется абсолютная величина разности между ее правым и левым предельными значениями.

Пример 1.Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х. Найти точки разрыва функции, если они существуют.

Решение:

Данная функция определена и непрерывна в интервалах

(-,2), (-2,1), (1,+),т.к. постоянная и непрерывная функции непрерывны на всей действительной оси . При х=-2 и х=1 меняется аналитическое выражение функции, и только в этих точках функция может иметь разрыв. Определим односторонние пределы в точке х=-2:

Односторонние пределы совпадают и равны значению функции в точке х=-2. Функция в этой точке непрерывна.

Определим односторонние пределы в точке х=1:

Т.к. односторонние пределы функции у=f(x) в точке х=1 не равны между собой, то в этой точке функция имеет разрыв первого рода. В точке х=1 скачок функции имеет значение, равное =|2-(-3)|=5. График функции показан на рис.1.

рис.1.

Пример 2. Дана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.

Решение:

Наша функция является отношение 2-х линейных функций, которое является непрерывным на всей действительной оси. Значит, исходная функция непрерывна всюду на действительной оси, кроме () x=2.

При х=-2 данная функция не существует; в этой точке функция терпит разрыв. Определим односторонние пределы функции при х-2 слева и справа:

Таким образом, при х=-2 данная функция имеет разрыв второго рода.

Производная.

Опр.1. Производной функции по аргументу называется предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента при условии, что это последнее стремиться к нулю. Производная функции обозначается .

Таким образом, по определению

, x, x+∆x Df.

Операция отыскания производной данной функции называется дифференцированием этой функции.

Геометрически число представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

Пример 1. Исходя из определения производной, непосредственно найти производную функции у=х².

Решение:

Придадим х приращение х и найдем приращение функции:

у=у(х+х)-у(х)=(х+х)²-х²=х²+2хх+(х)²-х²=2хх+(х)²

Основные правила нахождения производной.

Если с - постоянная величина и функции u=u(x), v=v(x), w=w(x)

имеют производные, то

1. (с)^/=0

2. (cu)^/=cu^/

3. (u+v-w)^/=u^/+v^/+w^/

4. (uv)^/=u^/v+uv^/

5)

6)

7) если функции и имеют производные, то y_x^/ =y_u^/ u_x^/ .

Пример 2.Вычислить производную функции: y=(2x² –5x+1)e^x

Решение:

y^/ =(2x² –5x+1)^/ e^x +(2x² –5x+1)(e^x )^/ =(по правилу 4)=[(2x² )^/ –(5x)^/ +1^/]e^x +(2x² –5x+1)e^x =

=(по правилу 3)=(4x-5)e^x +(2x² –5x+1)e^x .

Если х- независимая переменная, то

Основные формулы.

Пример 3. Вычислить производную функции:

Решение:

Воспользуемся сначала правилом 5), а затем правилами 3) и 4) и формулами 2) и 3).