1. Правила вывода.

1 Правило подстановки(ПП).

Если формула А выводима (доказуема) в исчислении высказываний, х- переменная, В- произвольная формула исчисления высказываний, то формула , полученная в результате замены в формуле А переменной х всюду , где она входит, формулой В, является также выводимой(доказуемой) формулой (ситуация та же, что имела место в алгебре логики, которая является интерпретацией исчисления высказываний).

Операция замены в формуле А переменной х формулой В, носит название подстановки и символически записывается так:

или .

Уточним сформулированное правило:

а) если формула А есть собственно переменная х , то подстановка дает , очевидно, В;

б) если формула А есть переменная y , отличная от х ,то подстановка дает А;

в)подстановка формулы В вместо х в отрицание формулы А есть отрицание подстановки , т. е. подстановка дает ;

г) если А₁ и А₂- некоторые формулы, то подстановка дает * , где через символ * обозначен любой из символов операций конъюнкция, дизъюнкция или отрицание

Если А- выводимая (доказуемая ) формула, то будем писать, как и ранее, ├А. Тогда ПП можно записать схематически следующим образом:

├А____ .

├

И читается эта запись так: “Если формула А выводима (доказуема), то выводима (доказуема) и формула .

2 Правило заключения (ПЗ).

Если формулы А и А→В выводимы (доказуемы) в исчислении высказываний, то формула В также выводима (доказуема). Схематическая запись этого правила имеет вид:

├А;├А→В (Modus ponens)

├В

Правомерность этого правила очевидна: если импликация и посылка истинны, то заключение в импликации может быть только истинным(см. таблицу истинности операции “импликация”).

2. Определение выводимой (доказуемой ) формулы.

а) Всякая аксиома является доказуемой формулой.

б)Формула, полученная из доказуемой формулы путем применения подстановки вместо переменной х произвольной формулы В, есть доказуемая формула.

в) Формула В, полученная из доказуемых формул А и путем применения ПЗ, есть доказуемая формула.

г) Никакая другая формула исчисления высказываний не считается доказуемой .

Процесс получения доказуемых формул будем называть доказательством (выводом) формул. Это процесс последовательного перехода от одной доказуемой формулы к другой с помощью аксиом, правила подстановки и правила заключения на каждом шаге (в определенном смысле это аналог равносильным преобразованиям в алгебре логики), так что вывод даже простой формулы может оказаться, в силу его многошаговости, достаточно громоздким.

3. §3. Производные правила вывода.

Производные правила вывода, как и рассмотренные правила подстановки и заключения, позволяют получать новые доказуемые формулы. Они получаются с помощью правил подстановки и заключения, а поэтому являются производными от них.

1. Правило сложной (одновременной) подстановки (спп).

Пусть А – доказуемая формула; - переменные, а - любые формулы ИВ. Тогда результат одновременной подстановки в формулу А вместо соответственно формул является доказуемой формулой.

Схематично операция СПП записывается так:

├А______

├

Так, в рассмотренном выше примере вместо шагов 4-5-6 и 9-10-11 можно было сразу применить СПП и тогда вместо 12 получим желаемый результат за 8 ходов:

1) . . . .( ) (1)

2) . . . (2)

3) . . .( ) (3)

4) . . . (4)

5) (2),(4), ПЗ . (5)

6) . . . ( ) (6)

7) (7)

8) . . . (5), (7), ПЗ (8)