Ветвление (условный оператор)

Машину Тьюринга   будем называть распознающей, если для некоторого алфавита   и каждого входа  , на котором   останавливается, ее результат  , т.е.  вычисляет некоторую двузначную функцию (возможно частичную) на словах из 

Лемма 9.5. Пусть   - распознающая м.Т., м.Т.   вычисляет функцию f(x), а м.Т.   - функцию g(x). Тогда существуетм.Т.   вычисляющая функцию

Доказательство. Требуемая м.Т.   вначале копирует вход xи получает на ленте слово x*x, затем вычисляет параллельную композицию функций   и тождественной функции e(x)=x и переходит в конфигурацию  . Выбор между f и gпроисходит по следующим командам:

Кроме того, обеспечим переход в новое заключительное состояние:

Таким образом, мы реализовали в терминах машин Тьюринга обычный в языках программирования оператор ветвления:

Повторение (цикл)

Используя конструкцию для ветвления легко реализовать в терминах машин Тьюринга и операторцикла.

Лемма 9.6. Пусть   - распознающая м.Т., а м.Т.   вычисляет функцию f(x). Тогда существуетм.Т.   которая вычисляет функцию, задаваемую выражением:

Доказательство. Действительно, пусть м.Т.   - вычисляет тождественную функцию g(x)=x. Построим по м.Т.   м.Т.   реализующую ветвление как в лемме 9.5. Тогда искомаям.Т.   получается из   заменой команд   на соответствующие команды , обеспечивающие зацикливание.

Реализованные выше операции над машинами Тьюринга и вычислимыми функциями позволяют получатьпрограммы новых м.Т., используя обычные конструкции языка программирования "высокого" уровня:последовательную и параллельную композицию, ветвление и цикл. Пусть   -машины Тьюринга. Последовательную композицию M₁ и M₂ будем обозначать M₁;M₂, параллельную композицию M₁, M₂,... , M_m обозначаем как   (здесь b - это символ, разделяющий аргументы и результаты этих машин), ветвление -

цикл -

Пример 9.4. Рассмотрим в качестве примера задачу перевода чисел из унарной системы счисления в двоичную. Пусть f^ub(|ⁿ) = n₍₂₎ для всех  , где n₍₂₎ - двоичная запись числа n.

Пусть M₁ - м.Т., которая начальную конфигурацию q₀ ,|ⁿ переводит в конфигурацию q₁ ,0*|ⁿ; M₂ -м.Т., которая прибавляет 1 к двоичному числу-аргументу (см. пример ref{ex8-suc}); M₃ - м.Т., которая вычитает 1 из унарного числа;   - м.Т., которая на аргументе вида x*|^y выдает 0, если число y > 0, и выдает 1 при y=0 (т.е. на аргументе  ); M₄ - м.Т., которая стирает * в аргументе вида x* и останавливается. Реализация каждой из указанных м.Т. очевидна. Теперь требуемая м.Т. M_ub, вычисляющая f^ub, получается как

Действительно, после работы M₁ получаем конфигурацию q₁0*|ⁿ. Предположим теперь по индукции, что после i (i <n) итераций цикла while получается конфигурация q₁ i₍₂₎*|^n-i. Тогда на (i+1) -ой итерации цикла после параллельного применения M₂ к i₍₂₎ и M₃ к |^n-i получаем конфигурациюq₁(i+1)₍₂₎*|^n-i-1. Поэтому после n итераций получится конфигурация  . На ней   выдаст 1, и цикл завершится с записью   на ленте, из которой M₄ сотрет * и оставит требуемый результат n₍₂₎.

Отметим, что из приведенного примера и из задачи \oldref{prb3-6}(a) следует, что класс вычислимых на м.Т. арифметических функций не зависит от выбора унарного или двоичного кодирования аргументов и результатов. Это же справедливо и для троичной, десятичной и других позиционных систем счисления ( почему ?).