Реляционная алгебра

1. Лекция: Предварительные сведения

Страницы: 1 | 2 | 3 | вопросы | »

для печати и PDA

Если Вы заметили ошибку - сообщите нам или выделите ее и нажмите Ctrl+Enter

Множества и операции над ними. Как доказывать равенство множеств? Отношения и функции. Отношения эквивалентности и частичного порядка. Мощность множеств

Содержание

• Множества

  • Операции над множествами

  • Как доказывать равенство множеств?

• Отношения и функции. Мощность множества

  • Задачи

Множества

Множество - это одно из основных понятий математики, как дискретной, так и непрерывной. Оно не определяется через другие понятия. Содержательно, подмножеством понимается некоторая совокупность элементов. Основное отношение между элементами и множеством - этоотношение принадлежности элемента множеству. Оно обозначается знаком     означает, что элемент xпринадлежит множеству A.   означает, что элемент x не входит в множество A.   означает, что каждый элементмножества A является также элементом множества B. В этом случае множество A называется подмножеством множества B. Если   и  , то A=B, т.е. множества A и B равны. Если   и  , то A называется собственнымподмножеством множества B, и в этом случае пишем  .Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается   .

Обычно множества обозначаются с помощью пары фигурных скобок, в которые заключены их элементы. Небольшие множества задаются прямым перечислением всех элементов. Например, множество простых чисел, не превосходящих 10, это {2, 3, 5, 7} ; множество (имен) летних месяцев: {июнь, июль, август}. В описаниях "больших" конечных множеств используют многоточие. В них часто указывается несколько первых элементов и последний элемент множества. Например, множество целых неотрицательных чисел, не превосходящих 100, записывают как {0, 1, 2, ... , 100}, множествовсех месяцев года - как { январь, февраль, ..., декабрь}. Такое задание требует определенной аккуратности. Например, если некоторое множество A задано как {3, 5, 7, ... , 19}, то не ясно, является ли A множеством нечетных чисел, лежащих в интервале от 3 до 19, или это множествопростых чисел из того же интервала (возможны и другие его расшифровки). Перечисления элементов бесконечных множеств начинаются несколькими начальными элементами, а завершаются многоточием. При этом часто указывают общий вид элемента задаваемого множества. Основное бесконечноемножество, рассматриваемое в дискретной математике, это множество всех натуральных чисел N={0, 1, 2, 3, ... } . Множество всех квадратов этих чисел можно задать, например, так: {0, 1, 4, 9, ..., n², ... } .

Как мы уже отметили, большие множества не всегда можно точно определить, используя перечисление с многоточием. Основной способ их описания имеет вид: { Elem | условие на Elem}, где Elem - это общий вид элемента определяемого множества, а после вертикальной черты описано условие, которому этот элемент должен удовлетворять. Например,   - этомножество целых чисел в интервале от 10 до 1000,   - множество квадратов натуральных чисел,   - множество всех простых чисел.

Множества, элементами которых являются другие множества, часто называют семействами или классами. Семейство ( множество ) всех подмножеств множества A обозначается через 2^A, т.е.  . Например, если A={ 0, 1, {2,3}}, то  , а для пустого множества   семейство его подмножеств  .

Операции над множествами

Имеется целый ряд операций, позволяющих получать одни множества из других. Рассмотрим основные из них.

Объединением множеств A и B называется множество

Объединением семейства множеств   называется множество

Пересечением множеств A и B называется множество

Пересечением семейства множеств   называется множество

Из определения операций объединения и пересечения непосредственно следует, что они обладают свойствами ассоциативности:  ,   и коммутативности  ,  .

Разностью множеств A и B называется множество

Обычно все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого "универсального"множества U. Разность U \ A называется дополнением множества A (в U ) и обозначается через  . Ясно, что   и  .

Симметрической разностью множеств A и B называется множество

Иногда симметрическую разность множеств называют дизъюнктивной суммой и обозначают  или  .

Декартовым (прямым) произведением множеств A₁, ... , A_n называется множество n -ок

.

Если A₁= ... =A_n=A, то A₁ x ... A_n называется декартовой (прямой) степенью множества A и обозначается через Aⁿ .