23. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа:

В форме Лагранжа:

24. Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена:

Экспонента:

Натуральный логарифм:

 

для всех 

Биномиальное разложение:

 для всех   и всех комплексных   где

В частности:

Квадратный корень:

 

для всех 

 для всех | x | < 1

Конечный геометрический ряд:

 для всех 

Тригонометрические функции:

 

для всех   где B_2n — Числа Бернулли

 для всех 

 

для всех 

 для всех 

Гиперболические функции:

 

для всех 

 

для всех 

 для всех 

25. Признак постоянства функции:

Признак постоянства функции. Если F'(х) = 0 на некотором промежутке I, то функция F — постоянная на этом промежутке. Доказательство. Зафиксируем некоторое x₀ из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число c, заключенное между х и x₀, чтоF(x)-F(x₀) = F'(c)(x-x₀). По условию F’ (с) = 0, так как с∈1, следовательно,F(x)-F(x₀) = 0.

Итак, для всех х из промежутка IF(x) = F(x₀),т е. функция F сохраняет постоянное значение.

26. Признаки возрастания и убывания функции. Условие строгой монотонности:

Признак возрастания (убывания) функции.

Одна из основных задач исследования функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения. Достаточный признак возрастания функции. Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.Достаточный признак убывания функции. Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I. Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х₁ и x₂ из интервала. Пусть x₁<x₂. По формуле Лагранжа существует число с∈(х₁, x₂), такое, что

 (1)

Число с принадлежит интервалу I, так как точки х₁ и x₂ принадлежат I. Если f'(x)>0 для х∈I то f’(с)>0, и поэтому F(x₁)<F(x₂) — это следует из формулы (1), так как x₂ — x₁>0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же f’ (x)<0 для х∈I то f'(с)<0, и потому f(x₁)>f (х₂) — следует из формулы (1), так как x₂—x₁>0. Доказано убывание функции f на I.  Наглядный смысл признаков ясен из физических рассуждений (рассмотрим для определенности признак возрастания).  Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна f'(t) (см. Мгновенная скорость). Если f’ (t)>0 в каждый момент времени из промежутка t, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если t₁ <t₂, то f (t₁)<f (t₂). Это означает, что функция f возрастает на промежутке I.

Достаточное условие строгой монотонности функции:

Пусть функция   непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке   производную f'(x). Тогда

если   то f строго возрастает на (a,b);

если   то f строго убывает на (a,b).