Примеры

В случае n = 2, например, имеем:

При n = 1 получается известное правило производной произведения:

P.S(если потребуется доказательство то оно тут http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/der/html/lek_d3.htm )

10)

. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически

11)

12)Теорема. Пусть функция  непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки x0, и пусть при x=x0 существуют производные  и , причём ; тогда и обратная функция  имеет вторую производную в точке , причём она может быть выражена через значения производных  и .

Доказательство. Опуская, как и выше, обозначения аргумента, имеем . Вычисляя производную по y от обеих частей и применяя к правой части правило дифференцирования сложной функции, получаем

  . □

13)

14)

15)

16.Односторонние и бесконечные производные.

17. Теорема Ферма.

Ма́лаятеоре́ма Ферма́ — классическая теорема теории чисел, которая утверждает, что

Если р—простое число, и целое а не делится на р,то а^р-1=1(mod p) (или а^р-1-1 делится на р.

Иная формулировка: Для любого простого р и целого а, (а^р-а) делится на р.

Великая теорема Ферма:

Теорема утверждает, что:

Для любого натурального числа n > 2уравнение не имеет натуральных решений a, b и c.

Формулировка действительно проста – на первый взгляд. Как известно нам с детства, «пифагоровы штаны на все стороны равны».  Проблема выглядит столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно, – теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах. То есть легко подобрать множество чисел, которые прекрасно удовлетворяют равенству х² + y² = z². Начиная с 3, 4, 5 – действительно, младшекласснику понятно, что

9+16=25.

Или 5, 12, 13:

25 + 144 = 169.

Замечательно. Ну и так далее. А если взять похожее уравнение х³+ y³ = z³? Может, тоже есть такие числа? И так далее (рис.1).

Так вот, оказывается, что их НЕТ.

Вот тут начинается подвох. Простота – кажущаяся, потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, отсутствие. Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение. Доказать отсутствие сложнее: например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? легко: бац – а вот оно, решение! (приведите решение). И все, оппонент сражен. А как доказать отсутствие? Сказать: «Я не нашел таких решений»? А может, ты плохо искал? А вдруг они есть, только очень большие, ну очень, такие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силенок? Вот это-то и сложно.

В наглядном виде это можно показать так: если взять два квадратика подходящих размеров и разобрать на единичные квадратики, то из этой кучки единичных квадратиков получается третий квадратик.А проделаем то же с третьим измерением– не получается. Не хватает кубиков, или остаются лишние: