13.Центральна гранична теорема.Муавр Лаплас

Центральна гранична теорема.

Для послідовності випадкових величин 1) розглянемо:

Теорема 1. Якщо випадкові величини в послідовності (1) незалежні, однаково розподілені і для них існують моменти другого порядку, то

(2)

тобто граничним розподілом для є нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Для біноміально розподіленої ДВВ Х=m – частоти появи події А з імовірністю р в серії із n НПВ справедлива наближена формула:

P(m₁≤m≤m₂)≈Ф(t₂) – Ф(t₁),

де Ф(t) – інтегральна функція Лапласа,

;

Частинні випадки Муавра-Лапласа. Для частоти m та частості m/n появи події A з імовірністю p в серії із n НПВ справедливі наближені формули:

14.Формула Бернуллі. Біноміальний закон розподілу ймовірностей (закон Бернуллі). Найімовірніша частота (мода) настання події. Локальна теорема Лапласа. Формула Пуассона. Закон рідкісних подій (закон Пуасона).

Теорема. Нехай проводиться НПВ за схемою Бернуллі і ймовірність появи події в кожному із випробувань незмінна (ймовірність непояви події в кожному із випробувань ). Тоді імовірність того, що подія з’явиться разів у НПВ знаходиться за формулою Бернуллі: .

Доведення: P(X=m)=P_m,n=C^m_n*p^m*q^n-m, C^m_n=n!/(m!(n-m)).

P_n(X=m)=C^m_nP(A*A…*A*A*A*…*A)=за т.добутку=C^m_np*p*…*p*q*q*…*q=C^m_np^mq^n-m(кількість таких комбінацій).

Біноміальным законом розподілу ДВВ (закон Бернуллі) називають ДВВ - частоту появи події у НПВ.

Найімовірнішою частотою (або модою) появи події у НПВ називають частоту, для якої . Подвійну нерівність для визначення найімовірнішої частоти: .

Теорема (локальна формула Муавра-Лапласа). Якщо у схемі Бернуллі із НПВ імовірність появи події дорівнює ( ), а кількість НПВ досить велика, то імовірність появи події разів у НПВ наближено дорівнює (тим точніше, чим більше ):

, де - функція Гауса, а .

Формула Пуассона: . При виконанні умов теореми Пуассона ВВ ( яка приймає нескінченну злічену множину значень , а відповідні імовірності знаходяться за формулою , де ) називають розподіленою за законом Пуассона ( закон рідкісних подій).

15.Критерій узгодженості Пірсона. Критерій узгодженості Пірсона є випадковою величиною, що має розподіл , який визначається за формулою і має k = q – m – 1 ступенів свободи, де q — число часткових інтервалів інтервального статистичного розподілу вибірки; m — число параметрів, якими визначається закон розподілу ймовірностей генеральної сукупності згідно з нульовою гіпотезою. Так, наприклад, для закону Пуассона, який характеризується одним параметром , m = 1, для нормального закону m = 2, оскільки цей закон визначається двома параметрами i . Якщо (усі емпіричні частоти збігаються з теоретичними), то , у противному разі . Визначивши при заданому рівні значущості  і числу ступенів свободи критичну точку , за таблицею (додаток 8) будується правобічна критична область. Якщо виявиться, що спостережуване значення критерію , то Н₀ про закон розподілу ознаки генеральної сукупності відхиляється. У противному разі Н₀ приймається.