5.Математичне сподівання дискретної випадкової величини та його властивості. Довести (на вибір) три з них.

Математичним сподіванням ДВВ Х називається сума добутків всіх її значень на відповідні імовірності, тобто .

Властивості:

1.МС сталої ВВ дорівнює самій цій сталій: М(с)=с.

Доведення. М(с)= за означенням = с*1=с.

Х=с	с
Р	1

2.Сталий множник виноситься за знак МС: М(сХ)=сМ(Х).

Доведення.

Х
Р

с*Х	с*
Р

за означенням = С*М(Х)

3. МС суми ВВ дорівнює сумі їх МС: М(X+Y)=M(X)+M(Y)

Наслідок: М(X-Y)=M(X)-M(Y)

4.МС добутку (незалежних) ВВ дорівнює добутку їх МС: М(XY)=M(X)M(Y)

5.МС центрованої ВВ Х-М(Х) дорівнює нулю: М(Х-М(Х))=0.

Доведення. М(Х-М(Х))=0. За попередніми властивостями: М(Х-М(Х))=М(Х)-М(М(Х))=М(Х)-М(Х)=0. (похибки гасять одна одну, а їх квадрати - ні).

6.Дисперсія дискретної випадкової величини та її властивості. Довести 3 з них на вибір. Середнє квадратичне відхилення.

Дисперсією ДВВ називається МС квадрата відхилення ВВ від свого МС, тобто:

Дисперсія (якщо вона існує) має розмірність квадрата ВВ, є невипадковою сталою невід’ємною величиною, що характеризує розсіювання значень ВВ від центру розподілу – МС. Для того, щоб мати аналогічну характеристику такої ж розмірності як сама ВВ, розглядають середнє квадратичне відхилення: . Властивості дисперсії. При вивченні курсу ми розглянули 7 властивостей:

1.Дисперсію можна знаходити за формулою: .

2.Дисперсія сталої дорівнює нулю: .

3.Сталий множник виноситься за знак дисперсії в квадраті: .

4.Дисперсія суми незалежних ВВ дорівнює сумі їх дисперсій: .

Наслідок. Дисперсія різниці незалежних ВВ дорівнює сумі їх дисперсій: .

Наслідок. Дисперсія центрованої ВВ та стандартизованої ВВ співпадають з

дисперсією самої ВВ .

5.Якщо ВВ та залежні, то: ,де - коефіцієнт коваріації ВВ.

6.Дисперсія добутку незалежних ВВ дорівнює: 7. Дисперсія середнього арифметичного взаємнонезалежних ВВ дорівнює: Доведемо три з них. Властивість 1: правило обчислення дисперсії

Доведення: За властивостями МС:

М[X-M(X)]²=M[X²-2X*M(X)+M²(X)]=M(X²)-M(2X*M(X))+M(M²(X))=M(X²)-2M²(X)+M²(X)=M(X²)-M²(X)

Властивість 2: За означенням D(С)=M(C-M(C))²=0.Дисперсія хар-зує розсіювання значень ВВ від центру розподілу – МС.

Властивість 3: .Доведення: D(CX)= за теор.=M(C²X²)-M²(CX)=за власт.МС=C²M(X²)- C²M²(X)=C²[M(X²)-M²(X)]=C²D(X).

7.Незалежні повторні випробування - НВП. НВП як випробування, проведені за схемою "повернених куль". Виведення формул для математичного сподівання, дисперсії та середнього квадратичного відхилення частоти та відносної частоти в схемі незалежних повторних випробувань.

Якщо серію випробувань проводити в однакових умовах і імовірність появи події в кожному окремому випробуванні однакова та не залежить від появи або непояви події в інших випробуваннях, то таку послідовність НПВ називають схемою Бернуллі.

Знайдемо числові характеристики біноміально розподіленої ДВВ . Розглянемо випадкові величини - частоту появи події у -тому випробуванні. Закони розподілу усіх цих ВВ однакові і мають вигляд:

	0	1
	q	p

Неважко переконатись, що числові характеристики цих ВВ:

= за властивостями МС =

.

ВВ - частість (частка, відносна частота) появи події у НПВ підкоряється біноміальному закону розподілу з числовими характеристиками