20 Металлический волновод. Структура э/м поля. Граничные условия.

Задача нахождения электромагнитного поля волноводной моды сводится к решению уравнений Гельмгольца для проекций электрического и магнитного поля, в области D , ограниченной контуром l. Полученные решения затем подставляются в формулы (4.22) и (4.23) из которых находятся остальные проекции электрического и магнитного поля .

Уравнения Гельмгольца имеют определенные решения, если на контуре l заданы некоторые граничные условия для проекций . Эти граничные условия должны быть такими, чтобы найденные в результате электрическое и магнитное поле удовлетворяло граничным условиям (4.10) в каждой точке металлической поверхности волновода, через которую проходит контур l. Поэтому главной задачей здесь является выбор правильных граничных условий на контуре l для проекций . Рассмотрим волноводную моду, у которой проекция магнитного поля на ось z равна нулю, а проекция электрического поля на ось z отлична от нуля. (4.27)

Волноводную моду с такой поляризацией называют TM – волной. То есть, волной с поперечным магнитным полем (transverse magnetic field). Другое название такой моды это E – волна. То есть волна, у которой продольная составляющая электрического поля отлична от нуля.

Подставляем (4.27) в уравнения (4.24) и (4.25) получаем формулы для нахождения остальных проекций электрического и магнитного поля TM - волноводной моды.

(4.28)

Исследуем граничные условия (4.10). Рассмотрим условие, где касательная составляющая электрического поля на поверхности проводника равняется нулю . Выразим вектор электрического поля через проекции в декартовой системе координат. (4.29)

Спроектируем выражение (4.29) на единичный вектор . (4.30)

Подставим проекции из формул (4.28) в уравнение (4.30). В результате получим следующее соотношение.

(4.31)

С другой стороны вычислим производную по направлению вектора : (4.32)

Сравнивая формулы (4.31) и (4.32) получаем следующее соотношение. (4.33)

Так как рассматриваемое граничное условие имеет вид , из соотношения (4.33) получаем следующее уравнение: (4.34)

Уравнение (4.34) означает, что проекция вдоль контура l имеет постоянное значение: (4.35)

При выводе граничных условий (4.10) вектор мог быть любым касательным вектором. Поэтому вместе с граничным условием должно выполняться также граничное условие . На Рис.19 показано, что направление единичного вектора и оси z совпадают. Поэтому имеет место, следующее соотношение: (4.36)

Таким образом, приходим к выводу, сто константа в соотношении (4.35) должна равняться нулю. В результате получаем следующее граничное условие на контуре l.

(4.37)

Убедимся что граничное условие (4.37) приводит также к выполнению еще одного граничного условия из системы граничных условий (4.10). Покажем, что нормальная составляющая магнитного поля на поверхности проводника равняется нулю .

Выразим вектор магнитного поля через проекции в декартовой системе координат: (4.38)

Спроектируем выражение (4.38) на единичный вектор : (4.39)

Подставим проекции из формул (4.28) в уравнение (4.39). В результате получим следующее соотношение: (4.40)

Единичные векторы и взаимно перпендикулярны, поэтому проекции вектора можно выразить через проекции вектора . Используя взаимную ориентацию векторов на Рис.19, получаем следующую связь между векторами и .

(4.41)

Подставляем соотношения (4.41) в уравнение (4.40). В результате получаем следующее выражение.

(4.42)

Используем формулу (4.32) и переписываем соотношение (4.42) в следующем виде.

(4.43)

Учитываем формулу (4.34) и получаем из (4.43) нужное граничное условие.

(4.44)

Таким образом, для нахождения TM – волноводной моды выбрано корректное граничное условие (4.37).

Рассмотрим волноводную моду, у которой проекция электрического поля на ось z равна нулю, а проекция магнитного поля на ось z отлична от нуля.

(4.45)

Волноводную моду с такой поляризацией называют TE – волной. То есть, волной с поперечным электрическим полем (transverse electric field). Другое название такой моды это H – волна. То есть волна, у которой продольная составляющая магнитного поля отлична от нуля.

Подставляем (4.45) в уравнения (4.24) и (4.25) получаем формулы для нахождения остальных проекций электрического и магнитного поля TE - волноводной моды.

(4.46)

Исследуем граничные условия (4.10). Рассмотрим условие, где нормальная составляющая магнитного поля на поверхности проводника равняется нулю .

Воспользуемся выражением (4.39) для проекции магнитного поля , и подставим туда выражения для проекций из уравнений (4.46).

(4.47)

С другой стороны вычислим производную по направлению вектора .

(4.48)

Сравнивая формулы (4.47) и (4.48) получаем следующее соотношение.

(4.49)

Так как рассматриваемое граничное условие имеет вид , из соотношения (4.49) получаем следующее условие.

(4.49)

Условие (4.49) означает, что в любой точке контура l производная по направлению нормали от проекции магнитного поля равна нулю.

Убедимся что граничное условие (4.49) приводит также к выполнению еще одного граничного условия из системы граничных условий (4.10). Покажем, что касательная составляющая электрического поля на поверхности проводника равняется нулю .

Воспользуемся выражением (4.30) для проекции электрического поля , и подставим туда выражения для проекций из уравнений (4.46).

(4.50)

С помощью формул (4.41) выражаем проекции касательного вектора через проекции нормального вектора . В результате получаем следующее выражение.

(4.51)

Выражение в скобках преобразуем с помощью формулы (4.48). В результате получаем следующую формулу.

(4.52)

Учитываем формулу (4.49) и получаем из (4.52) нужное граничное условие.

(4.53)

Таким образом, для нахождения TE – волноводной моды выбрано корректное граничное условие (4.49).

Приведем сводку формул для нахождения электрического и магнитного поля в TM – волноводной моде.

(4.54)

Аналогично, приведем сводку формул для нахождения электрического и магнитного поля в TE – волноводной моде.

(4.55)

21.Планарный металлический волновод. Структура волны ТЕ поляризации.

Волновод – это канал, имеющий резкие границы, вдоль которого распространяется электромагнитное излучение. Металлический волновод – это металлическая труба, произвольного сечения, внутри которой распространяется электромагнитная волна

Если у металлического волновода прямоугольного сечения одна из сторон много больше другой, то такой волновод называют планарным волноводом. Волновод однороден в направлении оси y.( ) . Рассмотрим волноводную моду, у которой проекция электрического поля на ось z равна нулю, а проекция магнитного поля на ось z отлична от нуля. Волноводную моду с такой поляризацией называют TЕ – волной.

Сводка формул для нахождения электрического и магнитного поля в TЕ – волноводной моде. Теперь запишим эти формулы для планарного волновода (учтя граничные условия).

Уравнение Гельмгольца в системе ( ) с указанными граничными условиями легко решается. Результат такого решения имеет следующий вид. . Подставляем величину в систему получаем дисперсионное соотношение для волноводной моды . Условие существования моды (подкоренное выражение больше нуля) ;

2 2.Планарный металлический волновод. Структура волны ТМ поляризации. Волновод – это канал, имеющий резкие границы, вдоль которого распространяется электромагнитное излучение. Металлический волновод – это металлическая труба, произвольного сечения, внутри которой распространяется электромагнитная волна

Е сли у металлического волновода прямоугольного сечения одна из сторон много больше другой, то такой волновод называют планарным волноводом. Волновод однороден в направлении оси y.( ) . Рассмотрим волноводную моду, у которой проекция магнитного поля на ось z равна нулю, а проекция электрического поля на ось z отлична от нуля. Волноводную моду с такой поляризацией называют TM – волной. Сводка формул для нахождения электрического и магнитного поля в TM – волноводной моде. Теперь запишим эти формулы для планарного волновода .

Уравнение Гельмгольца( )в системе с указанными граничными условиями легко решается. Результат такого решения имеет следующий вид. . Подставляем величину в систему получаем дисперсионное соотношение для волноводной моды . Условие существования моды (подкоренное выражение больше нуля) .

Конечные формулы отличных от нуля проекции электрического и магнитного поля волноводной TM моды.

23. Металлический волновод прямоугольного сечения. Структура волны ТЕ поляризации.Волновод – это канал, имеющий резкие границы, вдоль которого распространяется электромагнитное излучение. Рассмотрим металлический волновод прямоугольного сечения.

Рассмотрим волноводную моду, у которой проекция электрического поля на ось z равна нулю, а проекция магнитного поля на ось z отлична от нуля. Волноводную моду с такой поляризацией называют TЕ – волной. Анализ показывает, что для нахождения TЕ мод нужно использовать магнитный потенциал Герца . Запишем уравнение Гельмгольца и граничные условия для рассматриваемой конфигурации.

Уравнение решается методом разделения переменных, и результат имеет следующий вид.

решения. Находим дисперсионное соотношение для моды Hnm .

Индексы n и m начинаются с нуля. Однако одновременно равняться нулю они не могут. Иначе электрическое и магнитное поле такой моды будет рано нулю. Поэтому моды H00 не существует. TЕ – волны будут описываться следующими уравнениями. ;