4.3.5. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Мы получили дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси в трех формах.

Дифференциальное уравнение вращения

4.3.6. Моменты инерции. Моменты инерции простых однородных тел.

Распределение масс в механической системе характеризуется моментами инерции. Рассмотрим следующие моменты инерции:

—осевые , , ;

—полярный ;

—центробежные , , .

,

, (4.37)

.

Полярным моментом инерции называется сумма произведений массы каждой точки механической системы на квадрат ее расстояния до полюса , т. е.

. (4.38)

Покажем, что сумма моментов инерции относительно осей координат равна удвоенному моменту инерции относительно начала координат, т. е.

.

Центробежным моментом инерции называется сумма произведений массы каждой точки механической системы на произведение ее соответствующих координат:

, ,

го Полярным моментом инерции называется сумма произведений массы каждой точки механической системы на квадрат ее расстояния до полюса , т. е.

.

Если относительно какой либо системы координат центробежные моменты инерции равны нулю, то оси этой системы координат называются главными осями инерции в начале координат. Если начало этой системы координат совпадает с центром масс, то такие оси называются главными центральными осями инерции.

Момент инерции механической системы относительно некоторой оси равен моменту инерции относительно параллельной оси , проходящей через центр масс системы, сложенному с произведением массы системы на квадрат расстояния между осями, т. е.

. (4.41)

Полярным моментом инерции называется сумма произведений массы каждой точки механической системы на квадрат ее расстояния до полюса , т. е.

.

1. Тонкий однородный стержень длиной и массой . .

2. Тонкое круглое однородное кольцо радиуса и массы . .

3. . Круглая однородная пластина или цилиндр радиуса и массой . .

. Момент инерции каждой из этих пластин относительно оси определяется формулой (4.45):

.

4.3.7. Физический маятник.

Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести этого тела, которое может вращаться вокруг этой оси без трения

Эта горизонтальная ось называется осью подвеса.

. (4.48)

Полученное уравнение (4.48) является точным дифференциальным уравнением движения физического маятника.

. (4.49)

Уравнение (4.49)—дифференциальное уравнение малых колебаний физического маятника.

4.3.8. Теорема об изменении кинетического момента в относительном движении.

Теорема. Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно её центра масс, являющегося началом подвижной системы координат, движущейся поступательно, равна главному моменту внешних сил, действующих на точки системы, относительно центра масс, т. е.

.

Теорема. Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно оси, проходящей через её центр масс, который является началом подвижной системы координат, движущейся поступательно, равна главному моменту внешних сил, действующих на точки системы, относительно той же оси, проходящей через центр масс, т. е.

.

—если сумма моментов всех внешних сил механической системы относительно центра масс равна нулю, то кинетический момент будет постоянным как по величине, так и по направлению;

—если сумма моментов всех внешних сил системы относительно оси, проходящей через центр масс и перемещающейся поступательно, равна нулю, то кинетический момент механической системы относительно этой оси будет постоянным.