Список літератури:

1. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. – М.: Мир, 1985.-384 с.

2. Медведев В.С., Потемкин В. Г: Нейронные сети: Matlab6 М.: Диалог-МИФИ, 2002. – 496.

Neural Network Toolbox гл. 2 Модель нейрона и архитектура сети.

1. Вступ у теорію рівнянь із частковими похідними (рчп)

1.1. Основні поняття про рчп

Мережі кліткових нейронів призначені чисельно розв’язувати системи рівнянь із частковими похідними, за допомогою яких описується більшість просторово-розподілених і змінних у часі фізичних явищ електродинаміки, теплопередачі, оптики, механіки, динаміки рідини тощо.

Якщо в звичайних диференціальних рівняннях невідома функція залежить лише від однієї змінної, то в рівняннях із частковими похідними відшукувана функція залежить від декількох змінних (наприклад, напруга в провіднику U (x,t) залежить від координати х і часу t).

Для скорочення запису похідні позначають так:

Приклади найважливіших рівнянь із частковими похідними:

U_t=U_xx (одновимірне рівняння теплопровідності)

U_t=U_xx+U_yy (двовимірне рівняння теплопровідності)

U_tt = U_xx + U_yy +U_zz (тривимірне хвильове рівняння)

U_tt = U_xx + αU_t + βU (телеграфічне рівняння)

1.2 Методи розв’язування рчп

Існує представницький арсенал методів розв’язування рівнянь із частковими похідними. Найважливіші методи розв’язування зводить їх до звичайних диференціальних рівнянь. Найвідоміші методи розв’язування такі:

1. Метод відділення змінних зводить рівняння з частковими похідними від n незалежних змінних до n звичайних диференціальних рівнянь (повне відділення). При частковому відділенні змінних рівняння з частковими змінними зводиться до декількох рівнянь із частковими змінними від меншої кількості незалежних змінних.

2. Метод інтегральних перетворень зводить рівняння з частковими похідними від n незалежних змінних до відповідного рівняння від (n-k) незалежних змінних шляхом k-вимірного перетворення Фур’є чи Лапласа. Виходить, що рівняння з частковими похідними від двох незалежних змінних можна звести до звичайного диференціального рівняння при k=1.

3. Метод перетворення координат (наприклад, поворот координатних осей, тощо) зводить вихідне рівняння з частковими похідними до звичайного диференціального рівняння чи простішого рівняння з частковими похідними.

4. Перетворення залежної змінної приводить вихідне рівняння з частковими похідними до такого рівняння з частковими похідними для відмінної невідомої функції, котра розв’язати простіше????

Ефективніше застосовувати загальне перетворення незалежних (п. з ?) і залежних змінних і їхніх похідних.

5. Чисельні методи зводять вихідне рівняння з частковими похідними до системи різницевих рівнянь, котра розв’язується ітераційно комп’ютером. У багатьох випадках – це поодинокий спосіб розв’язати рівняння з частковими похідними. Крім різницевих методів розв’язування існують й інші чисельні методи, в тому числі й основані на апроксимації розв’язку поліномами (сплайнами).

6. Метод лінеаризації нелінійної задачі шляхом розв’язування низки відповідних лінійних задач.

7. Метод функцій Гріна отримує повний розв’язок вихідної задачі шляхом підсумовування розв’язків для елементарних джерел, які замінюють початкові граничні умови.

8. Метод інтегральних рівнянь здійснюється шляхом інтегрування, котре зводить рівняння з частковими похідними до інтегрального рівняння, в якому невідома функція присутня під знаком інтеграла.

9. Варіаційні методи розв’язують певну задачу мінімізації замість рівняння з частковими похідними, оскільки його розв’язок забезпечує мінімум відповідному виразу (аналог повної енергії системи).

10. Метод розкладання розв’язку в ряд за власними функціями, котрі знаходять як розв’язки простішої задачі щодо власних значень, яка відповідає вихідному диференціальному рівнянню з частковими похідними.

Аналітичними називають такі розв’язки, в котрих невідома функція u подається за допомогою невідомих змінних й параметрів у вигляді формул, нескінченних рядів й інтегралів.

Чисельними називають розв’язки, отримані у вигляді чисел в результаті наближеної заміни вихідного р-я (???) з частковими похідними апроксимує розв’язок різницевого рівняння. Результатом такої процедури є таблиця значень розв’язку при певних значеннях незалежних змінних.