1.4. Повторення випробувань

Формула Бернуллі.

Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює р , подія наступить рівно k разів (все рівно, в якій послідовності):

P_n (k)= , де .

При великих значеннях n використовують теореми Лапласа.

Число k₀ (настання подій А в n незалежних випробувань) називається найімовірнішим, якщо ймовірність того, що подія А настане у k₀ разів перевищує ймовірності інших можливих результатів.

.

Локальна теорема Лапласа.

Ймовірність того, що в n незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює р , подія наступить рівно k раз (все рівно, в якій послідовності):

де - функція Лапласа, обумовлена в таблиці (Додаток 1).

При x>4, =0, .

Інтегральна теорема Лапласа.

Ймовірність того, що в n незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює р , подія наступить не менше k₁ разів і не більше k₂ разів, приблизно дорівнює:

де

.

- функція Лапласа, обумовлена у таблиці (Додаток 2).

При , =0,5. .

При великому числі випробувань n при малій ймовірності появи р події в кожнім окремому випробуванні для підрахунку ймовірності використовують формулу Пуассона:

де .

Приклад 11. Ймовірність улучення в мішень при одному пострілі дорівнює 0,4. Знайти ймовірність 3-х улучень при 5-ти пострілах.

Розв'язання.

За формулою Бернуллі визначимо шукану ймовірність

Приклад 12. На підприємстві 75% усієї продукції – продукція вищої якості. Знайти ймовірність того, що в партії зі 150 виробів: а) 100 виробів виявиться вищої якості; б) не менше 50 виробів виявиться вищої якості.

Розв'язання.

а) Скористаємося локальною теоремою Лапласа: n=150, k=100, p=0,75. Подія А – поява виробу відмінної якості.

за таблицею (Додаток 1) визначимо тоді:

Р(А)=Р₁₅₀(100)

б) де

отже:

Р₁₀₀(50,150) 0,5-(-0,5)=1.

1.5.Випадкові величини, числові характеристики

Випадковою величиною називають таку змінну величину, що у результаті випробування може набувати одного з можливих значень, причому заздалегідь невідомо якого.

Дискретною (перервною) називається випадкова величина, що може набувати лише окремого, ізольованого одне від одного значення.

Неперервною називається випадкова величина, що може набувати будь-яке значення з деякого інтервалу.

Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і їхніми ймовірностями.

Ряд розподілу – це перелік можливих значень випадкової величини і їхніх ймовірностей.

Інтегральною функцією розподілу (чи функцією розподілу) називається функція F(x), яка визначає для кожного значення x ймовірність того, що випадкова величина X набуде значення менше числа x:

F (x)=P (X < x).

Теорема. Ймовірність того, що випадкова величина X набуде якого-небудь значення з [a; b], дорівнює збільшенню інтегральної функції на цьому інтервалі

P (a < X < b)=F (b)-F (a).

Диференціальною функцією (щільністю ймовірностей) називається похідна від інтегральної функції f (x)=F’(x).

Теорема. Ймовірність того, що випадкова неперервна величина набуде будь якого значення з інтервалу (а,b), дорівнює визначеному інтегралу від щільності розподілу на цьому інтервалі:

Числовими характеристиками випадкової величини називаються характеристики, що у стислій формі виражають найбільш істотні особливості розподілу. До них належать:

Математичне сподівання:

- дискретний розподіл;

- неперервний розподіл.

Дисперсія:

- дискретний розподіл;

- неперервний розподіл.

Середнє квадратичне відхилення:

Приклад 13. У цеху 4 мотори. Для кожного мотора ймовірність того, що він увімкнеться в даний момент дорівнює 0,6. Скласти ряд розподілу числа моторів, увімкнених у даний момент. Знайти M(X), D(X), .

Розв'язання.

Випадкова величина X – число ввімкнених моторів – може набувати значення від 0, 1, 2, 3, 4. Для кожного можливого значення випадкової величини знайдемо ймовірність:

;

;

;

;

Складемо ряд розподілу:

X	0	1	2	3	4
p	0,0256	0,1536	0,3456	0,3456	0,1296

Перевірка: 0,0256+0,1536+0,3456+0,3456+0,1296=1.

.

Приклад 14. Дана інтегральна функція:

Знайти:

а) диференціальну функцію;

б) ймовірність улучення випадкової величини в інтервал ;

в) математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення;

г) побудувати графік F (x), f (x).

Розв'язання.

а) Знайдемо диференціальну функцію:

f (x)=F’ (x)=

б) Визначимо ймовірність улучення випадкової величини Х в інтервал :

в) обчислимо математичне сподівання:

дисперсію:

середнє квадратичне відхилення:

=

г ) побудуємо графіки F (x), f (x):