Розділ 1 . Теорія ймовірностей

1. Елементи теорії ймовірностей

1.1 Основні поняття

Подія (А, В, С) – це будь-який факт, що може відбутися чи не відбутися в результаті випробування.

Подія називається вірогідною, якщо за даного комплексу умов вона обов'язково відбудеться.

Подія називається неможливою, якщо за даного комплексу умов вона ніколи не відбудеться.

Подія називається випадковою, якщо за визначеного комплексу умов вона може відбутися чи не відбутися.

Кілька подій утворюють повну групу (єдино можливі), якщо в результаті випробування хоча б одна з них відбудеться.

Кілька подій називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає можливість появи іншої.

Події називаються сумісними, якщо поява однієї не виключає появу інших.

Події називаються рівноможливими, якщо немає підстави вважати, що одна з них більш можлива, ніж інша.

Ймовірністю події називається відношення числа m сприятливих для даної події результатів до числа n усіх, утворюючих повну групу, несумісних і рівноможливих результатів .

Для будь-якої події ,

де P(A)=0 – ймовірність неможливої події,

P(A)=1 – ймовірність появи вірогідної події.

Статистичною ймовірністю події А називається відносна частота появи цієї події в проведених випробуваннях, тт.

,

де – статистична ймовірність події ; – відносна частота події ; – число іспитів, в яких з’явилась подія ; – загальне число іспитів.

Одним з недоліків класичного означення ймовірності, обмежуючим його застосування, є те, що воно передбачає кінцеве число можливих результатів випробувань.

Якщо позначити міру (довжину, площу, об’єм) області через mes, то геометричною ймовірністю події А називається відношення міри області сприятливої появі події А до міри усієї області, тт.

,

де g – фігура, сприятлива появі події А; G – фігура, на яку навмання кидається точка.

1.2 Елементи комбінаторики

Для підрахунку числа появи подій використовують елементи комбінаторики.

Сполука – це групи, утворені з яких-небудь предметів. Предмети, з яких утворені сполуки, називаються елементами.

Найбільш важливі: перестановки, розміщення, комбінації.

Розміщеннями з n елементів по m називаються такі сполуки, кожна з яких містить m елементів, узятих з даних n елементів, і які відрізняються одна від одної або порядком елементів, або самими елементами.

.

Перестановками з n елементів по n називаються розміщення з n, узяті по n ті що різняться тільки порядком елементів.

P_n=n!

Комбінації з n елементів по m називаються такі сполуки, кожна з яких містить m елементів, узятих з даних n елементів, і які відрізняються одна від одної самими елементами.

1.3 Основні теореми теорії ймовірностей Сумою події а і в називають подію с, що полягає в появі події а або події в, чи обох цих подій.

Теорема. Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Теорема. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1.

Дві події називаються незалежними, якщо ймовірність однієї з них не залежить від появи чи непояви іншої. У іншому випадку події називаються залежними.

Ймовірність події В, знайдена за умови, що подія А вже відбулася, називається умовною ймовірністю Р_А (В).

Добутком двох подій А і В називається подія С, що полягає в тім, що подія А і подія В одночасно відбудуться.

Теорема. Ймовірність сумісної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

Теорема. Ймовірність сумісної появи двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них, помноженої на умовну ймовірність іншої, знайденої в припущенні, що перша подія уже відбулася:

Формула повної ймовірності. Ймовірність події А, що може настати лише за умови появи однієї з несумісних подій , що утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А:

Формула Бейєса.

, .

Приклад 1. В одній із підгруп 7 дівчаток і 5 хлопчиків. Серед них розігруються 4 безкоштовних квитки на дискотеку. Яка ймовірність того, що власниками цих квитків будуть 2 дівчинки і 2 хлопчика?

Розв'язання: