23.Прямая и плоскость в пространстве

Пусть прямая L задана каноническими уравнениями:

где а плоскость P – общим:

где

Тогда взаимное расположение прямой L и плоскости P в пространстве можно определить по направляющему вектору прямой L и нормальному вектору плоскости P.

1.

2.

3.

4. координаты точки пересечения могут быть найдены следующим образом. От канонических уравнений прямой следует перейти к параметрическим, после чего подставить найденные значения в уравнение плоскости. Разрешить полученное уравнение относительно параметра t. Найденное значение подставить в параметрические уравнения, что позволит найти значения которые и будут координатами искомой точки пересечения прямой L и плоскости P.

Углом между и плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость, т. е.

.

25. Поверхности второго порядка

Алгебраической поверхностью второго порядка называется поверхность S, общее уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат относительно текущих координат имеет вид

где коэффициенты при одночленах второй степени одновременно не равны нулю.

Эти уравнения определяют тип поверхности и называются каноническими.

1. Эллипсоид:

2. Гиперболоид

1) эллиптический:

2) гиперболический:

3. Конус второго порядка:

4. Параболоид

5. Цилиндр

1) эллиптический:

2) гиперболический:

3) параболический:

Основным методом исследования формы поверхности является метод сечений, который состоит в следующем. Поверхность пересекается координатными плоскостями и им параллельными, а затем на основании вида полученных в сечениях линий делается вывод о виде поверхности. Таким образом изучаются основные геометрические свойства невырожденных поверхностей второго порядка на основе их канонических уравнений.

При этом, когда в общем уравнении поверхности коэффициенты приведение к каноническому виду осуществляется с помощью метода выделения полных квадратов и параллельного переноса системы координат. При наличии же в общем уравнении поверхности смешанных произведений переменных приведение к каноническому виду опирается на теорию квадратичных форм.

В любом случае, общее уравнение поверхности может быть приведено к уравнениям, задающим так называемые вырожденные поверхности. Приведем примеры таких случаев.

1. – пустое множество точек (мнимый эллипсоид);

2. – точка (0, 0, 0);

3. – пустое множество точек

29Предел функции в точке и на бесконечности

Определение по Коши

Число А называется пределом функции f(x) в точке х₀, если функция определена в некоторой выколотой окрестности точки х₀ и если для любого сколь угодно малого числа существует такое число что для всех х, удовлетворяющих условию

(1)

выполняется

(2)

Это записывают:

Число А называется пределом функции на бесконечности, если для любого существует число что для всех х, удовлетворяющих условию

выполняется неравенство

Это записывают:

( ).

Определение предела функции в точке (на бесконечности) по Гейне и по Коши эквивалентны.

Функция f(x) называется бесконечно большой при если для всякого числа М > 0 существует что для всех х, удовлетворяющих условию

( )

выполняется неравенство

Это записывают:

.

Если f(x) – бесконечно большая функция при то она не имеет предела в этой точке (на бесконечности). Символ предела в данном случае используют лишь для обозначения.

Функция f(x) называется бесконечно малой при если

.

Свойства предела функции в точке

1. Если функция f(x) имеет предел в точке х₀, то существует окрестность этой точки (за исключением, быть может, самой точки х₀), на которой функция ограничена.

2. Если существует предел функции f(x) в точке х₀, равный то существует такая окрестность точки х₀, на которой функция имеет тот же знак, что и А.

3. Если функции f(x) и g(x) имеют пределы в точке х₀, то:

где (3)

(4

где (5)

Аналогичные свойства верны и для предела функции на бесконечности.

Если в результате непосредственного использования формул (3)–(5) возникает неопределенность типа то вначале необходимо тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела (то же для неопределенностей ).