11.Теорема Пуассона.

(Ставится задача найти вероятность того, что при очень большом числе испытании, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз.

Рассмотрим случай,когда с ростом числа испытаний n вероятность успеха (p) уменьшается обратно пропорционально n. (n--->к беск, а p стрем-ся к 0)

Пусть n*p=const=лямбда>0

Тогда Pn(k)~=(при n-->бескон-ти) e^(-лямбда)* лямбда^k/k! k=0,...,n

Док-во: Ckn*p^k*q^(n-k)=(n!/((n-k)!*k!))*p^k*q^(n-k)*((n^k)/n^k)=((n*(n-1)*...*(n-k+1))/n*n*..*n))*((p^k*n^k)/k!)*q^(n-k)=лямбда=n*p, q=1-p, p=лямбда/n, q=1-(лямбда/n)

=1*(1-(1/n))*(1-(2/n))*...*(1-((k-1)/n))*(лямбда^k/k!)*(1-(лямбда/n)^-k*(1-(лямбда/n))^n--->n-->беск-ти

lim(n-->8) (1+1/n)^n=e второй замечательный предел

lim (1+(-лямбда)/n)^(n/(-лямбда))*(-лямбда)

lim Pn(k)=(e^(-лямбда))*(лямбда^k/k!),k=0,1... =e^-лямбда

Если p и q не слишком малы,то существует погрешность.

Пр.:Вероятность выйграть 1 игру в пул=1/38, игрок делает 190 ставок. Найти вер-ть,что он выйграет 1 раз.

р=1/38 n=190 k=1

лямбда=n*p=190/38=5

P190(1)~=e^(-5)*(5^1/1!)=0,0337 e~2,72

12.Дискретная случайная величина.

рассмотрим стохастический эксперимент (рез-т кот. Невозможно предугадать заранее) с пространством элементарных исходов Л={w1,w2,...},кот.состоит из счетного или конечного числа исходов. Пусть некоторая величина в рез-те эксперимента принимает различные значения в зависимости от наступления того или иного исхода, при этом каждому исходу соответствует только одно число. Другими словами, на пространстве Л задана функция Х(w),причем Апереверн.х принадлежит R {w: X(w) < x}-множество исходов,для которых X(w) < x является событием. Эта функция Х и является случайной величиной (с.в).

Пр.:Расстояние,кот.пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть с.в. Действительно,расстояние зависит не только от установки прицела,но и от многих других причин(силы и направления ветра,температуры),которые не могут быть полностью учтены.Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а,в).

Опр. Дискретной называют случайную величину,множество возможных значений которой конечно и счетно.(кот.принимает конкретн.изолир.набор значений с опред-ми вер-ми).

Пр.:Бросается 1 игр.кость. х-число очков невыпавш.вверх грани. х=1,2,3,4,5,6

Значения с.в. х(wi)=xi P(x(wi)=xi)=Pi (Pi-это вер-ть с.в.) EPi=1

Опр.2. Соответствие,которое каждому значению xi дискретной с.в. Х сопоставляет его вероятность pi,наз-ся законом распределения дискретной с.в. (xi,pi).

X~(xi,pi) EPi=1 Таблица распределения: xi x1 x2 ... xk

pi p1 p2 ... pk

Пр.: х-число очков при бросании 1 игр.кости.

xi 1 2 3 4 5 6

pi 1\61\6 1\6 1\6 1\6 1\6 EPi=1

Замечание. Пусть х-случ.величина. g(x)=y-ф-ция от с.в.,где g:R-->R,Тогда у-дискретна\ с.в,причем x~(xi,pi) y~(yi=g(xi),Pi) Пр.: xi -1 2

pi 0,4 0,6

y=2x yi -2 4

pi 0,4 0,6