4.Классическая вероятность. Геометрическая вероятность(с выводом).

В классич.опр.вер-ти исходят из того,что пространство элементарных исходов (Л) конечно и все элем.исходы равно возможны.

Опр.1.Элем.исходы наз-ся равно возможными,Если в силу условия эксперимента ни один из них не явл-ся объективно более возможным,чем другой. Пусть А-случ.событие,т.е АпринадлежитF. Л=(w1,w2,..,wn), n (общее число элемент-х исходов)-конечно.

Опр.2.Исходы,составляющие соб.А,наз-ся благоприятными для этого события.

Опр.3. Классич.вер-тью соб.А наз-ся отношение числа благоприятных исходов для соб.А к общему числу исходов. Р(А)=mA/n,где mA-число благопр.исходов,n-общее число исходов.

Пр.:1.Пусть бросается 1 игр.кость. Р(неч.число)=3/6=1/2 2.Пусть бросается 2раза монета. Найти вер-ть, что выпадет 1Герб: (Г,Р) (Р,Г) mA=2 n=4 Р(А)=2/4=1/2 3.Р(Е=7) n=36 mA=6 (3,4) (5,2) (2,5) (4,3) (6,1) (1,6) Р=6/36=1/6

Св-ва: 1. 0<=P(A)<=1 mA,n>0 mA/n>=0 mA<=n mA/n<=1 0<=mA/n<=1

2. P(Л)=n\n=1 3.P(Оперечер)=0/n=0 4.P(Ac-)=1-P(A) P(Ac-)=n-mA/n=1-(mA/n)=1-P(A)

Геометрич.опр-е вер-ти обобщает классич. на случай бесконечного пространства элем.исходов. Л<=R^n (энмерное арифм. пространство).

В кач-ве подмножеств в R^1 рассматриваются промежутки и их объединения(отрезки и интервалы);в R^2 рассм-ся фигуры,имеющие площадь;в R^3-фигуры,имеющие объем.

A-некоторое любое подмножество. М(мю маленькая)(А)-мера множества А, (длина, площадь, объем)

Опр.1.Геом.вер-тью называют отношение меры А к мере множ-ва Л. Р(А)=М(мю мал.)(А)/М(мю мал.)(Л).

1св-во. 0<=P(A)<=1 М(мю мал.)(А)>=0, М(мю мал)(Л)>=0 ---> М(мю мал )(А)/ М(мю мал (Л)>=0; М(мю мал) (А)<= М(мю мал) (Л)---> М(мю мал) (А)/ М(мю мал )(Л)<=1

0<= М(мю мал)(А)/ М(мю мал)(Л)<=1

2 св-во. Р(Л)= М(мю мал (Л)/ М(мю мал)(Л)=1

3 св-во. Р(Оперечер)=0/ М(мю мал)(Л)=0

4 св-во. Р(Ас-)= (М(мю мал)(Л)- М(мю мал)(А))/ М(мю мал)(Л) = 1-( М(мю мал)(А)/ М(мю мал)(Л))=1-Р(А).

<Л,F,P> - дискретное вероятностное пространство.

Прим: вписан круг, R=5 точка бросается в больш. Круг. Вер-ть того, что она попадет в малый круг…? P(A)=П5^2/П10^2=1/4

В область Л бросается точка,она может попасть в любую точку области Л и вер-ть попасть в какую-либо часть области Л пропорциональна мере этой части и не зависит от её расположения и формы.

Пр.: 10|----(---5----)----| (на отр-к длинно 10см помещен отр-к длиной 5см. Случайным образом кидается точка. Найти вер-ть того,что точка попадет на мален.отрезок. P(A)=M(A)/M(Л)=5/10=1/2.

5.Элементы комбинаторики.

Опр-е. Сочетание из n элементов по k, k>=n, Ckn-это неупорядоченные наборы,состоящие из k элементов,взятых из данных n элементов.

Перестановки-наборы,отличающиеся др.от друга порядком,составленные из всех элементов данного конечного множества. {1,2,3}

{1,3,2} {2,1,3} {2,3,1} {3,1,2} {3,2,1}

Теорема 1.Число перестановок из n-перестановок=n!, Pn=n!

n!=n(n-1)*...*2*1; P3=3!=3*2*1=6

Пр.:Цифры 1,2,3,4 написаны на 4х карточках,сколько различн.4хзначн.чисел можно сотавить из них?

P4=4!=4*3*2*1=24

Опр-е:Размещения-упорядоченные наборы из k-различн.элементов,выбранные из n-данных элементов.

k n {1,2,3} (n=3) k=2 {1,2} {2,1} {1,3} {3,1} {2,3} {3,2}

Теорема 2. Число размещений из n-переменных по k = Akn=n!/(n-k)!. A23=3!/1!=3*2*1/1=6

Пр.:студентам нужно сдать 4 экзамена за 8 дней. А48=8!/4!=8*7*6*5*4*3*2*1/4*3*2*1=1680

Опр-е:Сочетание-неупорядоченные наборы,сост.из k-элементов,выбран.из данных n-элементов.

{1,2,3} (1,3) (1,2) (2,3)

Теорема 3:Сkn=n!/k!(n-k)!. C23=3!/2!*1!=3*2*1/2*1*1=3 0!=1

Пр.:Группа состоит из 20 студентов,для дежурства отобраны 3 человека. Трое по спику студентов?

Р=1\С3 20= 3!17!/20!=1/1140