- •3. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами (сравнения, Даламбера, Коши).
- •3) В случае ответа о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.
- •4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •5. Знакопеременные ряды. Теорема о сходимости знакопеременного ряда.Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
- •6. Функциональные ряды. Сходимость и сумма ряда. Область сходимости.
- •7. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса.
- •Признак равномерной сходимости.
- •1) Признак Вейерштрасса (мажорантный признак)
- •8. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
- •9. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Вычисление радиуса
- •10.Ряды Тейлора и Маклорена.
- •11.Достаточные условия разложения функции в ряд Тейлора.
- •13.Применение степенных рядов к вычислению интегралов, значений функций, решению ду.
- •Приближенное решение ду с помощью степенных рядов
- •1.Способ последовательного дифференцирования
- •2.Способ неопределенных коэфф.
- •14. Тригонометрическая система функций и ее свойства.
- •15. Тригонометрический ряд. Сходимость. Ряд Фурье. Коэффициенты Фурье.
- •20.Приближение в среднем функции тригонометрическими полиномами.
- •21.Неравенство Бесселя.
- •22.Интеграл Фурье. Синус и косинус преобразование Фурье.
- •23.Ряд Фурье в комплексной форме.
- •24.Интеграл Фурье в комплексной форме.
- •25.0Пределение и область существования функции комплексной переменной (фкп).
- •26.Предел и непрерывность фкп.
- •27.Дифференцирование фкп.
- •27.Дифференцирование фкп
- •28.Геометрический смысл модуля и аргумента производной фкп.
- •29.Аналитичность фкп. Условия Коши-Римана.
- •30.Интегрирование фкп.
- •3L.Интегральная формула Коши.
- •32.Степенные ряды фкп. Радиус и круг сходимости.
- •34.Ряд Лорана и область его сходимости.
- •35.0Собые точки и их классификация.
- •36.Вычеты фкп.
- •37.Применение вычетов к вычислению интегралов.
- •3. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами (сравнения, Даламбера, Коши).
5. Знакопеременные ряды. Теорема о сходимости знакопеременного ряда.Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.
Теорема1. Если знакопеременный ряд (1) таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов (2) сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится, то данный ряд называется условно сходящимся.
Основные свойства абсолютно сходящихся рядов
1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд (теорема Дирихле).
2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами и можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна + (ИЛИ соответственно - ),
3. Под произведением двух рядов и понимают ряд вида
Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами и есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна
Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитаются, перемножаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависят от порядка записи членов.
В случае условно сходящихся рядов соответствующие утверждения (свойства), вообще говоря, не имеют места.
6. Функциональные ряды. Сходимость и сумма ряда. Область сходимости.
Функ. ряд – ряд,члены которого являются функ. одного и того же аргумента.
Ф.р.:
Совокупность значений x, при которых ф.ряд сходится - область сходимости ф.ряда.
; - n-частичная сумма , - остаточный член
=lim
Если ряд сходится, то
7. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса.
О пределение (равномерной последовательности на множестве E D функциональной последовательности):
Ф.р. называется равномерно сходящимся, если задав любое >0 можно указать такой N>0, что для всех n>N будет выполнятся неравенство
Критерий Коши:
Определение равномерной сходимости функционального ряда на множестве E:
Критерий Коши:
.
Следствие. Если
Признак равномерной сходимости.
1) Признак Вейерштрасса (мажорантный признак)
П усть дан функциональный ряд и если – сходится, то функциональный ряд сходится равномерно на E.
Д оказательство (по критерию Коши):
Т.к. ряд сходится, то по критерию Коши: для
любого ε>0 существует такой номер N, что ε для всех n>N и любых целых p>=0. Поэтому для всех n>N и
. Это означает, что ряд
сходится равномерно на множестве Е
8. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
И нтегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
Пусть имеется ряд (1)
Теорема о интегрировании и дифференцировании: Если ряд состоящий из непрерывных функций, сходится равномерно на [а, b] к сумме S(x), то интеграл от суммы этого ряда = сумме интегралов от его членов.
, где α и х є [a, b]
Д оказательство:
| |<ξ
По свойству определенного интеграла:
, т.к.
Дифференцирование функциональных рядов.
Теорема Если функциональный ряд (1) сходится к сумме S(x) на [a, b], и ряд (2) , составленный из производных членов данного ряда равномерно сходится на [a, b] к сумме σ(x), то сумма ряда, составленного из производных, равна производной от суммы ряда (1), т.е. σ(x)=
Доказательство: Т.к. 2-ой ряд сходится равномерно на [a, b], то по теореме интегрирования функциональных рядов.
Продифференцируем по х:
Что и требовалось доказать.