6. Модель международной торговли. Формулирование модели международной торговли в виде задачи линейного программирования для использования при расчетах средства «Поиск решения» MicrosoftExcel.

Сначала сведем данную задачу к задаче линейного программирования. Для этого введем дополнительное ограничение сверху на сумму национальных доходов величиной В:

х1+х2+х3+…+хn<= В

Тогда наша цель: х1+х2+х3+…+хnmax

Ограничения:

х1+х2+х3+…+хn<= В

(А-Е)х=0, где Е-единичная матрица

7.Математическое программирование, общая постановка задачи оптимизации. Классификация задач математического программирования, их постановка, а также графическая интерпретация для двух переменных.

Оптимизационная мат модель, или задача нелинейного программирования становится нелинейной, если хотя бы одна функция – целевая функция или функция в ограничениях – является нелинейной.

Задача нелинейного программирования записывается в общем виде:

Классификация:

1)общие задачи НП

2)Выпуклые и вогнутые задачи НП

3)Выпуклые и вогнутые задачи квадратичного программирования

4)Классическая задача оптимизации или задача на условный экстремум

8.Нелинейные модели и задачи нелинейного программирования и их графическая интерпретация. – общая задача нелинейного программирования, понятия локального и глобального экстремума; задачи выпуклого программирования, понятия выпуклой и вогнутой функции, понятие выпуклой области; задачи квадратичного программирования; классическая задача оптимизации (задача на условный экстремум).

Общая задача нелинейного программирования:

Целевая функция и все функции в ограничениях являются нелинейными функциями общего вида. ОДР может выпуклой/вогнутой, наибольшее значение в любой ее точке, решений может быть несколько.

Локальный экстремум - наиб.или наим. значение целевой функции на ОДР в некоторой окрестности области поиска, если он единственный, то он же и глобальный. Глобальный - наиб.или наим. значение целевой функции на ОДР на всей области поиска.

Задачи выпуклого программирования:

ОДР представляет собой выпуклую область, а целевая функция является выпуклой (вогнутой) функцией. Локальное решение = глобальному. Функция выпуклавверх, когда ее вторая производная меньше нуля, и вогнутой (выпуклой вниз), когда больше.

Пример: задача линейного программирования.

Задачи квадратичного программирования:

Целевая функция квадратичная, ограничения линейные неравенства или определяющие ОДР в качестве выпуклого многогранника. Локальное решение = глобальному. Подвид задач выпуклого программирования.

Классическая задача оптимизации (задача на условный экстремум):

Ограничения в виде равенств. Все функции нелинейны. Число ограничений меньше числа переменных, функции непрерывны и имеют производные до второго порядка. Решается по методу множителей Лагранжа.

9.Графическая интерпретация решения задач нелинейного программирования – область допустимых решений, линии уровня (изолинии) целевой функции, их определение. Графическое определение оптимального решения задач нелинейного программирования. Нарисовать линии уровня целевых функций заданных уравнениями: F(x1,x2)=ax1^2+bx1+ cx2^2+dx2, F(x1,x2)=(x1-a)^2+(x2-b)^2, F(x1,x2)=x1^2+x2, F(x1,x2)=x1x2, F(x1,x2)=ax1^2+bx1+ cx2^2+dx2+ ex1x2. В каких местах ОДР могут лежать оптимальные решения задач нелинейного программирования?

ОДР – множество точек, каждая из которых удовлетворяет множеству их решения.

Точки, координаты которых удовлетворяют условию F=(x1, x2,…, xn)=a - явл линиями уровня.

Линии уровня:

10.Нелинейная математическая модель планирования производства (задача об использовании ресурсов), учитывающая выпуск бракованной продукции и зависимость прибыли от реализации продукции от объема производства, для двух видов продукции. Сравнение с аналогичной линейной моделью. Графическая интерпретация определения оптимального решения.

А1 и А2-виды продукции

s1,s2,s3-виды ресурсов

х1 и х2-объемы выпускаА1 и А2

aij-затратыi-ого ресурса на j-ую продукцию

b1, b2, b3-ресурсы в наличии

с1 и с2-ожидаемая прибыль от А1 и А2

к - коэффициент интенсивности расходования ресурса при дополнительной бракованной ед.

l - коэффициент интенсивностиизменения прибыли при увеличении объемов производства

целевая функция: f=(с1х1+l1х1)х1+(с2х2+l2х2)х2 max

ограничения (3 шт.): расход ресурса i = ai1х1+кi1(х1^2)+ai2х+кi2(х2^2)<= bi

неравенства - эллипсы, пересечение - выпуклая область, линии уровня - расширяющиеся эллипсы

11.Математическая модель с нелинейными затратами на операцию, на примере продажи автомобилей двумя продавцами. Графическая интерпретация определения оптимального решения.

12.Модель фирмы (нелинейная модель оптимизации производства). Производственная функция. Ресурсы, основной капитал и живой труд, факторы производства. Однофакторная, двухфакторная и многофакторная производственные функции. Свойства производственных функций. Графический вид однофакторной производственной функции.

Задачами нелинейного программирования называются задачи математического программирования, в которых нелинейны и (или) целевая функция, и (или) ограничения в виде неравенств или равенств. При этом модель фирмы описывает прибыль или доход от реализации произведённой продукции в зависимости от объёмов затрат факторов производства. Цел.функция представляет собой получаемую фирмой прибыль, выраженную через факторы производства.

Производственная функция – функциональная зависимость, мат. модель, отображающая зависимость между вводимой комбинацией факторов производства и объемом выпуска продукции.

Факторы производства — ресурсы, необходимые для производства товаров и услуг. Зачастую выделяют два основных фактора: труд (представляет собой целесообразную деятельность человека по созданию экономических благ, проявление совокупности умственных и физических способностей человека) и капитал (включает в себя совокупность созданных прошлым трудом человека блага: акции, облигации, деньги, банковские депозиты).

В зависимости от числа видов используемых ресурсов производственные функции бывают однофакторными, двухфакторными и многофакторными.

Свойства производственных функций:

- объем затрачиваемых ресурсов и произведенного продукта не отрицателен

- без ресурсов не может быть выпуска

- если один ресурс отсутствует, то и выпуск равен 0

- с ростом объема любого ресурса выпуск растет

- описывает определенную технологию

- показывает возможности комбинации факторов

- отражает макс выпуск при данной комбинации факторов

- отражает только эффективные комбинации

Графический вид однофакторной: