Задача 2

Даны осциллирующая и пульсирующая сферы диаметрами d = 10 см. Сферы работают на двух частотах: f₁= 1,5 кГц и f₂ = 150 кГц, рабочая среда – вода.

Найти:

1. активную х и реактивную y составляющие механического импеданса для каждой из сфер на низкой f₁ и высокой f₂ частотах;

2. частоту (для обеих сфер), при которой активная составляющая импеданса равна реактивной;

3. для пульсирующей сферы найти частоту, при которой активная составляющая импеданса отличается на 10% от его модуля;

4. построить диаграмму направленности осциллирующей сферы в декартовой и полярной системах координат;

5. Построить зависимость x(ka) и y(ka) для пульсирующей и осциллирующей сфер, если а=10 см.

Решение

1. Вычислим активную и реактивную составляющие осциллирующей и пульсирующей сфер для двух частот : f₁= 1,5 кГц и f₂ = 150 кГц. Результаты занесем в таблицу.

Осциллирующая сфера	Результаты
	НЧ (f1)	ВЧ (f2)
	2,356103 кг/с	6,283104 кг/с
	2,275104 кг/с	1,0103 кг/с
; для НЧ	2,41 кг	1,0610-3 кг
Пульсирующая сфера
	5,33104 кг/с		1,884105 кг/с
	8,49104 кг/с		2,99103 кг/с
- масса жидкости в объеме шара радиусом а	9,01 кг		3,18210-3 кг

Анализ полученных результатов показывает, что на одной и той же частоте активная и реактивная составляющие механического импеданса у пульсирующей сферы намного больше соответствующих составляющих осциллирующей сферы. Присоединенная масса у пульсирующей сферы тоже больше, чем у осциллирующей сферы.

2. Приравняем активную и реактивную составляющие механического импеданса:

для пульсирующей сферы:

или отсюда .

Отсюда частота равна:

Гц.

Для осциллирующей сферы имеем

Если это уравнение решить графически относительно произведения волнового числа на радиус сферы (см. рисунок 8), то получим .

Отсюда длина волны  м,

а Гц.

3. Найдем частоту, при которой активная составляющая механического импеданса на 10% меньше самого механического импеданса.

Запишем равенство

,

где %.

Решим этого уравнения на ПК с помощью прикладной программы MahtCad

,

т.к. , Гц - частота на которой активная составляющая на 10% меньше механического импеданса для пульсирующей сферы.

Для осциллирующей сферы

Гц.

4. Характеристика направленности осциллирующей сферы определяется по формуле (см. теоретическую часть):

.

На рис. 7 построена эта диаграмма в декартовой (а) и полярной (б) системах координат

а) в декартовой системе координат	б) в полярной системе координат
Рис. 7. Характеристика направленности осциллирующей сферы

:

5. Построим зависимости активной и реактивной составляющих механического импеданса пульсирующей и осциллирующей сфер. Они имеют вид представленный на рисунках 8-9.

Рис. 8. Зависимость активной и реактивной составляющих механического импеданса для пульсирующей сферы

Рис. 9. Зависимость активной и реактивной составляющих механического импеданса для осциллирующей сферы