11 Основная задача электростатики. Уравнения Пуассона и Лапласа.

Общей задачей расчета электростатического поля является определение напряженности поля во всех его точках по заданным зарядам или потенциалам тел. Для электростатического поля задача полностью решается отысканием потенциала как функции координат. Обратная задача отыскания распределения зарядов по заданному распределению зарядов решается с помощь уравнения Пуассона или с помощь уравнения Лапласа и граничного условия у поверхности заряженных проводящих тел. Это наиболее простой тип задач. Однако большей частью задача оказывается значительно сложнее. Обычно рассматривается система заряженных проводящих тел с известной геометрией, окруженных диэлектриком, в котором отсутствуют объемные заряды. Заданы либо потенциалы тел, либо полные заряды. Распределение же зарядов по поверхности каждого тела неизвестно и подлежит определению. В этом и заключается основная трудность задачи. Также неизвестным является и распределение потенциала в пространстве.

Особенно усложняется задача для неоднородной или неизотропной среды.

Задачи можно решать аналитически или графически, либо путем моделирования.

В простых случаях задачи на аналитический расчет решают путем использования теоремы Гаусса в интегральной форме. В более сложных приходится решать уравнение Лапласа (или Пуассона, если задан закон распределения свободных зарядов).

12 Электрическая ёмкость — характеристика проводника, мера его способности накапливать электрический заряд. В теории электрических цепей ёмкостью называют взаимную ёмкость между двумя проводниками; параметр ёмкостного элемента электрической схемы, представленного в виде двухполюсника. Такая ёмкость определяется как отношение величины электрического заряда к разности потенциалов между этими проводниками.В системе СИ ёмкость измеряется в фарадах. Электрический конденсатор

Конденса́тор (от лат. condensare — «уплотнять», «сгущать») — двухполюсник с определённым значением ёмкости и малой омической проводимостью; устройство для накопления заряда и энергии электрического поля. Конденсатор является пассивным электронным компонентом. Обычно состоит из двух электродов в форме пластин (называемых обкладками), разделённых диэлектриком, толщина которого мала по сравнению с размерами обкладок. 1) две плоские пластины; 2) две концентрические сферы; 3) два коаксиальных цилиндра. Поэтому в зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся на плоские, сферические и цилиндрические.    

18 Сторонние силы.Сторонние силы - силы неэлектрической природы, вызывающие перемещение электрических зарядов внутри источника постоянного тока. Сторонними считаются все силы отличные от кулоновских сил. Электродвижущей силой ε источника тока называют физическую скалярную величину, равную работе сторонних сил по перемещению единич ного положительного заряда вдоль замкнутой цепи Единицей электродвижущей силы в СИ является вольт (В). Источник ЭДС (идеальный источник напряжения) — двухполюсник, напряжение на зажимах которого постоянно (не зависит от тока в цепи). Напряжение может быть задано как константа, как функция времени, либо как внешнее управляющее воздействие.

В простейшем случае напряжение определено как константа, то есть напряжение источника ЭДС постоянно

13 Энергия системы неподвижных точечных зарядов. Как мы уже знаем, электростатические силы взаимодействия консервативны; значит, система зарядов обладает потенциальной энергией. Будем искать потенциальную энергию системы двух неподвижных точечных зарядов Q₁ и Q₂, которые находятся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией (используем формулу потенциала уединенного заряда):    где φ₁₂ и φ₂₁ — соответственно потенциалы, которые создаются зарядом Q₂ в точке нахождения заряда Q₁ и зарядом Q₁ в точке нахождения заряда Q₂. Согласно,   и    поэтому W₁ = W₂ = W и    Добавляя к нашей системе из двух зарядов последовательно заряды Q₃, Q₄, ... , можно доказать, что в случае n неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна   (1)  где φ_i — потенциал, который создается в точке, где находится заряд Q_i, всеми зарядами, кроме i-го. 

14 Свободные заряды, имеющиеся в любом проводнике, перемещаются под действием внешнего электрического поля и спустя очень малый промежуток времени создают поле, полностью компенсирующее внешнее. Поэтому напряженность электрического поля внутри проводника (при отсутствии тока) равна нулю. Термин “диэлектрики” был введен Фарадеем. Диэлектриком является любая среда (газ, жидкость или твердое тело), в которой длительное время может существовать электрическое поле. В отличие от проводников в диэлектриках отсутствуют свободные электрические заряды. Т.е. диэлектриками называют тела в которых заряды не могут перемещаться из одной части в другую. Вектор поляризации — векторная физическая величина, приведённый внешним электрическим полем дипольный момент единице объёма вещества, количественно характеристики диэлектрической поляризации. Если электрическое поле имеет место в диэлектрике, то наблюдается поляризация вещества и появляются связанные электрические заряды.Учитывают поляризацию с помо щью вектора поляризации, который для анизотропных и однородных сред выражается через напряженность поля следующим образом: , где c – диэлектрическая восприимчивость вещества (диэлектрика). Вектор поляризации равен также поверхностной плотности связанных зарядов, возникающих в диэлектрике под воздействием внешнего электрического поля (Р = s_связ ).Кроме этого, при анализе электростатических полей используют вектор электрическо го смещения:Единицей электрического смещения является кулон на метр квадратный (Кл/м²). Величина e = e₀ + c является основной характеристикой диэлектрика и называется абсолютной диэлектрической проницаемостью. Отношение e_r = e/e₀ называют относительной диэлектрической проницаемостью.

15 Электростатическим называют постоянное поле неподвижных электрических зарядов. Источниками электростатического поля являются свободные электрические заряды и электрические диполи. В электростатическом поле отсутствует сторонняя составляющая напряженности электрического поля E_c.

В соответствии со сказанным уравнения электростатики в интегральной форме имеют вид

Уравнения электростатики в дифференциальной форме

(1)

В случае линейных изотропных диэлектрических свойств среды уравнение материальной связи между векторами E и D имеет вид:

(2)

Граничные условия для векторов электростатического поляНа поверхности раздела сред, где или P_r изменяются скачком, справедливы следующие соотношения

На поверхности проводящего тела

Тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля непрерывна на любой поверхности раздела сред.Скачок нормальной составляющей вектора электрического смещения равен поверхностной плотности электрических зарядов.

16 Постоя́нный ток, DC (англ. direct current — постоянный ток) — электрический ток, параметры, свойства, и направление которого не изменяются (в различных смыслах) со временем. Простейшим источником постоянного тока является химический источник (гальванический элемент или аккумулятор), поскольку полярность такого источника не может самопроизвольно измениться. Сила тока равна отношению заряда Δq, переносимого через поперечное сечение проводника за интервал времени Δt, к этому интервалу времени. Если сила тока со временем не меняется, то ток называют постоянным. Сила тока зависит от:    1. заряда, переносимого каждой частицей (q₀);    2. концентрации частиц (n);    3. скорости направленного движения частиц (v);    4. площади поперечного сечения проводника (S). Пло́тность то́ка — векторная физическая величина, имеющая смысл силы тока, протекающего через единицу площади. Например, при равномерном распределении плотности: тока по сечению проводника .В общем случае: Закон сохранения электрического заряда - физический закон, в соответствии с которым в замкнутой системе взаимодействующих тел алгебраическая сумма электрических зарядов (полный электрический заряд) остается неизменной при всех взаимодействиях.

17 Если в проводнике течет постоянный ток и проводник остается неподвижным, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. Опыт показывает, что в любом проводнике происходит выделение теплоты, равное работе, совершаемой электрическими силами по переносу заряда вдоль проводника. Если на концах участка проводника имеется разность потенциалов , тогда работу по переносу заряда q на этом участке равна

По определению I= q/t. откуда q= I t. Следовательно

Так как работа идет па нагревание проводника, то выделяющаяся в проводнике теплота Q равна работе электростатических сил

(17.13)

Соотношение (17.13) выражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме. Введем плотность тепловой мощности , равную энергии выделенной за единицу время прохождения тока в каждой единице объема проводника

где S - поперечное сечение проводника, - его длина. Используя (1.13) и соотношение , получим

Но - плотность тока, а , тогда

с учетом закона Ома в дифференциальной форме , окончательно получаем

(17.14)

Формула (17.14) выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: объемная плотность тепловой мощности тока в проводнике равна произведению его удельной электрической проводимости на квадрат напряженности электрического поля.

19 Электрическая цепь представляет собой совокупность источников тока, проводников и потребителей электроэнергии. Электрическая цепь чаще всего является разветвленной (сложной) и содержит узлы (рис. 1). Расчет разветвленной электрической цепи заключается в том, чтобы по заданным сопротивлениям участков цепи и ЭДС найти силы токов и напряжения на каждом участке цепи.

Рис. 1Для расчета разветвленных цепей постоянного тока применяют правила Кирхгофа. Согласно первому правилу Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю:

где n — число проводников, образующих узел. При этом токи считаются положительными, если они входят в узел, и отрицательными, если выходят из узла. Для узла, изображенного на рисунке 1, I₁ - I₂ - I₃ = 0. Согласно второму правилу Кирхгофа: в любом простом замкнутом контуре, произвольно выбираемом в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления соответствующих участков равна алгебраической сумме ЭДС, имеющихся в контуре:

где m — число источников в контуре, n — число сопротивлений в нем. Если направления токов совпадают с выбранным направлением обхода контура, то силы токов I_k считаются положительными. ЭДС ε_i считаются положительными, если они создают токи, сонаправленные с направлением обхода контура. Правила Кирхгофа не выражают никаких новых свойств стационарного электрического поля в проводниках с током по сравнению с законом Ома. Первое из них является следствием закона сохранения электрических зарядов, второе — следствием закона Ома для неоднородного участка цепи. Однако их использование значительно упрощает расчет токов в разветвленных цепях. Расчет разветвленной электрической цепи постоянного тока выполняется в следующем порядке:

1. произвольно выбирают направление токов во всех участках цепи:

2. записывают n - 1 независимых уравнений, согласно первому правилу Кирхгофа, где n — количество узлов в цепи;

3. выбирают произвольно замкнутые контуры так, чтобы каждый новый контур содержал хотя бы один участок цепи, не входящий в ранее выбранные контуры. Записывают для них второе правило Кирхгофа.

В разветвленной цепи, содержащей n узлов и m участков цепи между соседними узлами, число независимых уравнений, соответствующих правилу контуров, составляет m — n + 1.

На основе правил Кирхгофа составляют систему уравнений, решение которой позволяет найти силы токов в ветвях цепи.

20 Магни́тное по́ле — силовое поле, действующее на движущиеся электрические заряды и на тела, обладающие магнитным моментом, независимо от состояния их движения^[1], магнитная составляющая электромагнитного поля^[2]Магнитное поле может создаваться током заряженных частиц и/или магнитными моментами электронов в атомах (и магнитными моментами других частиц, хотя в заметно меньшей степени) (постоянные магниты).Кроме этого, оно появляется при наличии изменяющегося во времени электрического поля.Основной силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции (вектор индукции магнитного поля)^[3][4]. С математической точки зрения - векторное поле, определяющее и конкретизирующее физическое понятие магнитного поля. Нередко вектор магнитной индукции называется для краткости просто магнитным полем (хотя, наверное, это не самое строгое употребление термина).Ещё одной фундаментальной характеристикой магнитного поля (альтернативной магнитной индукции и тесно с ней взаимосвязанной, практически равной ей по физическому значению) является векторный потенциал. СИЛА ЛОРЕНЦА - сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся в электромагнитном поле. Ф-ла для с. Л. была впервые получена голландским физиком X. А. Лоренцом как результат обобщения опыта и имеет вид: (в ВД- системы СГС). Здесь е - заряд, V - скорость частицы, В и H - векторы напряжённости электрич. поля и магн. индукции в той же системе отсчёта, в к-рой измеряется скорость V. Первый член в ф-ле Fэ - сила, действующая на заряженную частицу в электрич. поле, второй - в магнитном. Магнитная составляющая силы Лоренца Fm пропорциональна векторному произведению VxВ, т. е. она перпендикулярна векторам V и В. Следовательно, сила Fm не совершает механич. работы, а только искривляет траекторию движения частицы, не меняя её энергию. Величина магнитной составляющей где альфа - угол между векторами V и В. Т. о., Fm максимальна, если направление движения частицы составляет с направлением магнитного поля прямой угол, и равна нулю, если частица движется вдоль направления поля.

21 Нередко в литературе в качестве основной характеристики магнитного поля в вакууме (то есть в отсутствие магнитной среды) выбирают не вектор магнитной индукции а вектор напряженности магнитного поля , что формально можно сделать, так как в вакууме эти два вектора совпадают^[5]; однако в магнитной среде вектор не несет уже того же физического смысла^[6], являясь важной, но всё же вспомогательной величиной. Поэтому при формальной эквивалентности обоих подходов для вакуума, с систематической точки зрения следует считать основной характеристикой магнитного поля именно Закон Био́—Савара—Лапла́са — физический закон для определения вектора индукции магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током. Для тока текущего по контуру Для распределенных токовДля случая, когда источником магнитного поля являются распределенные токи, характеризуемые полем вектора плотности тока j, формула закона Био — Савара принимает вид (в системе СИ):

22 Магнитное  поле  действует  с  некоторой  силой  на  любой  проводник  с  током,  находящийся  в  нем. Если проводник, по которому протекает электрический ток подвесить в магнитном поле, например, между полюсами магнита, то магнитное поле будет действовать на проводник с некоторой силой и отклонять его. Направление  движения  проводника  зависит  от  направления  тока  в  проводнике  и  от   расположения  полюсов  магнита. Действие магнитного поля на проводник с токомСила, действующая на проводник с током в магнитном поле, называется силой Ампера.Сила действия однородного маг­нитного поля на проводник с током прямо пропорциональна силе тока, длине проводника, модулю вектора индукции магнитного поля, синусу угла между вектором индукции магнитного поля и проводником: F=B^.I^.ℓ^. sin a — закон Ампера.Наиболее известным примером, иллюстрирующим силу Ампера, является следующая задача. В вакууме на расстоянии r друг от друга расположены два бесконечных параллельных проводника, в которых в одном направлении текут токи I₁ и I₂. Требуется найти силу, действующую на единицу длины проводника.Бесконечный проводник с током I₁ в точке на расстоянии r создаёт магнитное поле с индукцией: (по закону Био — Савара — Лапласа).Теперь по закону Ампера найдём силу, с которой первый проводник действует на второй: По правилу буравчика, направлена в сторону первого проводника (аналогично и для , а значит, проводники притягиваются).Модуль данной силы (r — расстояние между проводниками): Интегрируем, учитывая только проводник единичной длины (пределы l от 0 до 1):

23 Действие магнитного поля на контур с токомДля удобства предположим, что контур имеет прямоугольную форму.1) Пусть dl перпендикулярен B, т. е. любой элемент контура перпендикулярен силовым линиям. Cилы Ампера, действующие на каждый прямолинейный участок контура, указаны на рисунке.Если контур с током расположен перпендикулярно силовым линиям, то действие поля выражается в сжимании и разжимании контура. Если же контур состоит из упругого проводника, то внешнего изменения положения в пространстве не будет.

2) площадь контура с током параллельна силовым линиям. То есть нормаль плоскости контура перпендикулярна вектору магнитной индукции. Тогда силы Ампера на каждом участке:I. Sin=1, F_A≠0, сила направлена от нас.II, IV. Sin=0, F_A=0, То есть на элемент контура с током лежащим вдоль силовых линий F_A не действует.III Sin=1, F_A≠0, сила направлена к нам. Тогда если контур с током закрепить в точках A и B ,то при таком расположении его в магнитном поле он будет вращаться, то есть на него действует момент силы.

25 Магнитоста́тика  — раздел классической электродинамики, изучающий взаимодействие постоянных токов посредством создаваемого ими постоянного магнитного поля и способы расчета магнитного поля в этом случае. Под случаем магнитостатики или приближением магнитостатики понимают выполнение этих условий (постоянства токов и полей — или достаточно медленное их изменение со временем) чтобы можно было пользоваться методами магнитостатики в качестве практически точных или хотя бы приближенных. Закон Био — Савара — Лапласа (величина магнитного поля, генерируемого в данной точке элементом тока) Теорема о циркуляции магнитного поля она же в дифференциальной форме: Выражение для силы Лоренца (силы, с которой на движущуюся заряженную частицу действует магнитное поле) Выражение для силы Ампера (силы, с которой на элемент тока действует магнитное поле)

24 В математической формулировке для магнитостатики теорема имеет^[2]следующий вид^[1][3]: Здесь  — вектор магнитной индукции,  — плотность тока; интегрирование слева производится по произвольному замкнутому контуру, справа — по произвольной поверхности, натянутой на этот контур. Данная форма носит название интегральной, поскольку в явном виде содержит интегрирование. Теорема может быть также представлена в дифференциальной форме^[4]: Эквивалентность интегральной и дифференциальной форм следует из теоремы Стокса^[5].Приведённая выше форма справедлива для вакуума. В случае применения её в среде (веществе), она будет корректна только в случае, если под j понимать вообще все токи, то есть учитывать и «микроскопические» токи, текущие веществе, включая «микроскопические» токи, текущие в областях размерами порядка размера молекулы (см. диамагнетики) и магнитные моменты микрочастиц (см.например ферромагнетики).Поэтому в веществе, если не пренебрегать его магнитными свойствами, часто удобно из полного тока выделить ток намагничения (см. связанные токи), выразив его через величину намагниченности I и введя вектор напряжённости магнитного поля Тогда теорема о циркуляции запишется в форме^[6] где под (в отличие от в формуле выше) имеются в виду т. н. свободные токи, в которых ток намагничения исключен (что бывает удобно практически,поскольку - это обычно уже в сущности макроскопические токи, которые не связаны с намагничением вещества и которые в принципе нетрудно непосредственно измерить)^[7].В динамическом случае - то есть в общем случае классической электродинамики - когда поля меняются во времени (а в средах при этом меняется и их поляризация) - и речь тогда идет об обобщенной теореме, включающей , - всё сказанное выше относится и к микроскопическим токам, связанным с изменениями поляризации диэлектрика. Эта часть токов тогда учитывается в члене .