5. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме

Изменение кинетической энергии системы материальных точек при ее перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил системы на этом перемещении

,

где и – кинетическая энергия системы в конечном и начальном положениях соответственно, – суммы работ внешних и внутренних сил соответственно.

В случае неизменяемой системы материальных точек . И теорема принимает следующий вид:

.

Теорему следует применять в тех случаях, когда в число данных и искомых величин входят инерционные характеристики системы (масса и моменты инерции), скорости (линейный и угловые), силы и моменты сил, перемещения (линейные и угловые).

Решение задач с помощью теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме рекомендуется проводить в следующей последовательности:

1) дать анализ движения тел, входящих в изучаемую механическую систему;

2) изобразить на схеме скорости тел, входящих в систему;

3) вычислить кинетическую энергию системы в конечном и начальном положениях;

4) изобразить на схеме все внешние силы системы;

5) вычислить сумму работ внешних сил на перемещениях точек их приложения;

6) записать теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме и определить искомую величину.

5.1 Применение теоремы об изменении кинетической энергии механической системы к решению задач

Пример 1

Механическая система движется из состояния покоя под действием силы Н, приложенной к телу 1. Определить скорость тела 1, когда оно пройдет путь S1. Известны массы тел механической системы m1, m2, m3; радиусы барабана 2 – R=2r и однородного диска 3 – r3. Радиус инерции радиусы барабана 2 – ρ2. В начальный момент пружина жесткости c недеформирована. Коэффициент трения качения δ.

1) Механическая система состоит из трех тел: груз (1) совершает поступательное движение; барабан (2) – вращательное движение; каток (3) –плоско-параллельное движение (покажем положение МЦС т. Р)

2) Применим теорему об изменении кинетической энергии:

,

Где T₀ и T – кинетическая энергия системы в начальный и в конечный момент времени соответственно; , - суммы работ внешних и внутренних сил. Так как механическая система является геометрически неизменяемой и в начальный момент времени находилась в покое T₀=0, =0, имеем:

(1)

3) Определим кинетическую энергию механической системы.

(2)

При поступательном, вращательном и плоском движении тел 1, 2, 3 соответственно получим: T₁ = , T₂ = , T₃ = .

Скорости тел показаны на рисунке.

4) Составим кинематические соотношения между скоростями (перемещениями) тел, выражая их скорости через скорость груза 1:

Скорости:	Перемещения:
, ,	, (3)

5) После подстановки выражений кинетической энергии тел в (2) и преобразований окончательно получим:

или

. (4)

6) Определяем сумму работ внешних сил механической системы на заданном ее перемещении:

Покажем на расчетной схеме перемещения и внешние силы приложенные к системе: активные силы – , реакции внешних связей – и определим работу сил на перемещениях точек их приложения:

, , так как ,

, ,

, так как точка приложения неподвижна.

, ,

, .

Воспользовавшись кинематическими соотношениями (3), выразим все зависимые перемещения через перемещение груза 1.

(5)

Подставляя (4) и (5) в уравнение (1), получим:

,

откуда .