2.1. Применение теоремы о движении центра масс механической системы к решению задач
Пример 1
|
Квадратная
пластина массой
Определить горизонтальное пере-мещение пластины через 0,5 с после начала движения точки. |
=10
кг, расположена на гладкой горизонтальной
плоскости. По криволинейному каналу
радиусом
30
см движется точка массой
2
кг по закону
,
см.
Решение.
1) Механическая
система состоит из пластины, движущейся
поступательно и прямолинейно вдоль оси
,
и точки
,
совершающей сложное движение (относительное
– криволинейное движение по каналу,
выполненному внутри пластины, переносное
– поступательное движение вместе с
пластиной).
2) Искомой величиной в задаче является перемещение вдоль оси , поэтому для решения задачи применяем теорему о движении центра масс (ЦМ)механической системы в проекции на ось в дифференциальной форме:
(1)
3) На систему
действуют внешние силы: силы тяжести
и нормальная реакция гладкой поверхности
.
Имеем
,
= 0, то
= 0, тогда
=const
= 0 и
=const,
и, следовательно, для двух положений
системы выполняется тождество:
.
4) Положение центра масс системы определяется равенством:
(2)
Для двух положений
системы: начального и конечного при t
= 0,5с можно записать:
,
,
где индексами
и
обозначены координаты ЦМ каждого тела
в указанные моменты времени, они
связываются соотношениями:
=
+
,
=
+
(3),
где
-
абсолютное перемещение каждого тела в
проекции на ось движения
При
,
получаем:
(
+
)+
(
+
).
После преобразований: + = 0 (4)
6) Определим абсолютное перемещение центра масс каждого тела.
Абсолютное
перемещение пластины:
=
,
перемещение точки:
=
+
,где
-
переносное перемещение с системой;
-
относительное перемещение в проекции
на ось движения.
Определим положения
точки
в начальный и заданный момент времени:
=
,см.
В начальный момент времени т.
находится в положении
.
=
=10
,см.
Поскольку т.
движется криволинейно, то её положение
на траектории относительного движения
определяется при помощи центрального
угла:
рад.
Таким образом
относительное перемещение
=
,см.
Подставляя определённые и в (4), получаем:
0,
откуда находим
см.
Пример 2
|
Определить максимальное давление куба массой m на горизонтальную поверхность, если невесомый стержень длиной l с точечным грузом массой 0,3m на конце вращается с постоянной угловой скоростью ω.
|
Решение.
Давление куба на
плоскость
и
реакция плоскости
связаны соотношением:
.
1) Механическая система состоит из неподвижного куба и точечного груза, совершающего вращательное движение.
2) Искомая величина
в задаче является параллельной оси
,
поэтому для решения задачи применяем
теорему о движении центра масс системы
в проекции на ось y
в дифференциальной форме:
(1)
3) На систему
действуют внешние силы: силы тяжести
,
нормальная реакция гладкой поверхности.
,
(2)
С учётом (1) запишем:
(3)
4) Запишем формулу для определения координат ЦМ механической системы:
(4)
Определим координаты ЦМ каждого тела:
y1=0,y2=
.
(5)
При подстановке
в (4) получим:
.
Дважды дифференцируя и подставляя в
(3) получим:
,
откуда
,
окончательно получаем:
,
при
,
Максимальное вертикальное давление достигается при нахождении маятника в вертикальном нижнем положении.