Основные теоремы динамики механической системы
1. Основные понятия и определения
Механическая система – определенным образом выделенная совокупность материальных точек, взаимодействующих друг с другом по закону равенства действия и противодействия.
Внешние силы механической системы – силы, с которыми действуют на точки системы тела и точки, в нее не входящие.
Внутренние силы механической системы – силы взаимодействия между точками рассматриваемой системы.
Центр
масс механической системы
– геометрическая точка, положение
которой определяется радиус-вектором
:
,
где
– масса и радиус-вектор материальной
точки соответственно,
–
масса системы.
Количество движения механической системы – есть векторная сумма количеств движения отдельных точек системы:
,
где
–
скорость материальной точки и цента
масс соответственно.
Кинетический момент (главный момент количества движения системы) относительно какой-либо точки – есть векторная сумма моментов количеств движений точек этой системы, взятых относительно точки О:
.
Кинетический момент системы относительно осей координат:
.
Кинетический
момент твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси
равен произведению момента инерции
тела относительно этой оси на проекцию
угловой скорости
:
.
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех материальных точек системы:
.
Кинетическая энергия твердого тела:
а) при поступательном движении:
,
где
– масса тела,
–
скорость любой его точки;
б) при вращательном движении:
,
где
–
момент инерции твердого тела относительно
оси вращения
,
– угловая скорость вращения;
в) при плоском движении:
,
где
–
модуль скорости центра масс тела,
– момент инерции
твердого тела относительно оси
,
проходящей через центр масс перпендикулярно
к плоскости движения,
– величина мгновенной угловой скорости
твердого тела.
Элементарная
работа переменной силы
равна скалярному произведению силы
и элементарного перемещения
:
.
Работа
переменной силы
на конечном
перемещении по произвольной траектории
равна криволинейному интегралу, взятому
вдоль дуги кривой
от элементарной работы:
.
Элементарная работа внешних сил, приложенных к твердому телу:
а) поступательное движение:
,
где
–
главный вектор системы сил,
–
элементарное перемещение любо й точки
тела;
б) вращательное движение:
,
где
–
главный момент системы сил относительно
оси вращения
,
– элементарное
угловое перемещение тела;
в) плоское движение:
,
где
–
элементарное перемещение полюса О,
– главный момент системы сил относительно
оси, проходящей через полюс,
–
элементарное угловое перемещение вокруг
этой оси.
2. Теорема о движении центра масс механической системы
Центр масс механической системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему
.
В проекциях на оси координат это равенство эквивалентно трем скалярным:
,
где
,
,
–
проекции ускорения центра масс системы.
Следствия:
1. Одними внутренними силами нельзя изменить характер движения центра масс системы.
2. Если главный вектор внешних сил равен нулю, то центр масс материальной системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно
.
3. Если проекция главного вектора внешних сил системы на некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту ось не изменяется
.
4. Пара сил, приложенная к твердому телу не может изменить движение его центра масс.
Посредством теоремы можно решать прямые и обратные задачи динамики.
Рекомендуемая последовательность действий при решении задач:
1) дать анализ движения тел, входящих в исследуемую механическую систему;
2) изобразить на схеме все внешние силы системы (активные и реакции внешних связей);
3) выбрать систему координат;
4) записать теорему в проекциях на оси декартовых координат;
5) вычислить суммы проекций всех внешних сил системы на оси координат;
6) в зависимости от условий задачи решать прямую, либо обратную задачу динамики.