4. Примеры решения задач на прямолинейные колебания

4 .1 На платформе весом P, подрессоренной пружиной жесткостью c, покоится груз весом G. В некоторый момент времени груз толчком сбрасывается с платформы. Определите уравнение последующих колебаний платформы.

1. Составляем расчётную схему.

Объект исследования — платформа весом P совершает прямолинейные колебания вдоль вертикальной оси, следовательно её можно представить как материальную точку. Изобразим на расчётной схеме вертикальную ось x, направленную вниз, покажем на ней положение недеформированной пружины О₁ (рис. 2,а). Начало координат О выбираем в положении статического равновесия (рис. 2,б) нашего объекта исследования. Условия статичекого равновесия записываются в виде:

(1)

В начальный момент времени пружина была сдеформирована под статическим действием платформы и груза, на рис. 2,в покажем начальное положение точки — М₀, эта точка также соответствует статическому равновесию платформы с грузом. Введём обозначения: f_ст — статическая деформация пружины; f_ст2 — статическая деформация пружины под действием платформы и груза; x₀ — начальная координата точки; x — координата точки в произвольном положении. Произвольное положение объекта исследования покажем на рис. 2,г. Отметим характерные точки О₁, О, М, М₀ на расчётной схеме (рис. 2,д).

Начальные условия колебаний запишутся в виде

(2)

2. На материальную точку действуют силы:

 — сила тяжести;

 — сила упругости пружины (определяется как произведение жёсткости пружины на её полную деформацию, полную деформацию пружины определяем на расчётной схеме — это расстояние между концом недеформированной пружины (рис. 2,а) и произвольным положением точки (рис. 2,г)).

3. Составляем дифференциальное уравнение движения точки в форме второго закона Ньютона.

или в проекции на ось x:

. (3)

Для определения статической деформации в дифференциальное уравнение (3) подставим условия статического равновесия (1):

, откуда

. (4)

Подставив f_ст в дифференциальное уравнение и проведя несложные преобразования, получим

, (5)

где  — круговая частота свободных колебаний.

4. Решаем дифференциальное уравнение.

Дифференциальное уравнение (5) описывает случай свободных незатухающих колебаний и его решение ищется в виде

. (6)

Для определения постоянных интегрирования C₁ и C₂ подставим в (6) начальные условия (2), для чего предварительно найдём первую производную от уравнения движения:

;

;

.

Откуда выразим

(7)

4 .2 Груз весом P падает без начальной скорости с высоты h на упругую невесомую балку жесткостью c. Найдите уравнение колебаний груза, считая ось x проведенной вертикально вверх из положения статического груза на балке.

1. Составляем расчётную схему.

Объект исследования — груз весом P, исследуемое движение — прямолинейные колебания вдоль вертикальной оси. Следовательно груз можно представить как материальную точку. Изобразим на расчётной схеме вертикальную ось x, направленную вниз, покажем на ней положение недеформированной балки О₁ (рис. 2,а). Начало координат О выбираем в положении статического равновесия (рис. 2,б) нашего объекта исследования. Условия статичекого равновесия записываются в виде:

(1)

В данной задаче груз совершает свободное падение, а затем колебательное движение на балке. Поскольку стоит задача исследовать колебания груза, то рассмотрение падения груза носит вспомогательный характер и служит для определения начальных условий колебаний.

В начальный момент времени балка находилась в недеформированном положении. Скорость груза в этот момент определяется из условий его равноускоренного движения под действием силы тяжести.

 — время падения;

 — скорость в момент касания с балкой.

На рис. 2.в покажем начальное положение точки — М₀. Введём обозначения: f_ст — статическая деформация балки; x₀ — начальная координата точки; x — координата точки в произвольном положении. Произвольное положение объекта исследования покажем на рис. 2,г. Отметим характерные точки О₁,О, М, М₀ на расчётной схеме (рис. 2,д).

Начальные условия колебаний запишутся в виде

(2)

2. На материальную точку действуют силы:

 — сила тяжести;

 — сила упругости балки (определяется как произведение жёсткости балки на её полную деформацию, полную деформацию балки определяем на расчётной схеме — это расстояние между недеформированным положением балки (рис. 2,а) и произвольным положением точки (рис. 2,г)).

3. Составляем дифференциальное уравнение движения точки в форме второго закона Ньютона.

или в проекции на ось x:

. (3)

Для определения статической деформации в дифференциальное уравнение (3) подставим условия статического равновесия (1):

, откуда

. (4)

Подставив f_ст в дифференциальное уравнение и проведя несложные преобразования, получим

, (5)

где  — круговая частота свободных колебаний.

4. Решаем дифференциальное уравнение.

Дифференциальное уравнение (5) описывает случай свободных незатухающих колебаний и его решение ищется в виде

. (6)

Для определения постоянных интегрирования C₁ и C₂ подставим в (6) начальные условия (2), для чего предварительно найдём первую производную от уравнения движения:

;

;

.

Откуда выразим

(7)