1. Расчетная схема
2
.
Силы, действующие на точку М:
где μ = k.S)
3. Составим дифференциальное уравнение движения точки М в проекции на ось х:
.
(1)
4. Решим уравнение (1).
Разделим переменные и проинтегрируем (используя метод замены переменной):
;
;
;
;
;
;
;
.
Пропотенцируем:
Можно рекомендовать и другой путь решения дифференциального уравнения (1):
,
где
;
.
Окончательно получаем
.
Это обыкновенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Как известно, решение таких уравнений ищется в виде х = х1+х2, где х1 — общее решение однородного дифференциального уравнения.
Для нахождения общего решения решаем характеристическое уравнение
Его корни:
.
Теперь можно найти
.
Найдем х2 — частное решение уравнения (1):
.
Подставляя
и
в дифференциальное уравнение (1), видим,
что х2
является решением, так как обращает его
в тождество.
Итак,
.
Определим С1
и С2
из начальных условий: t = 0,
x0 = 0,
V0 = 0.
Вычислим
.
Получим два уравнения:
0 = С1+С2;
;
Теперь с учетом С1 и С2
.
Мы определили
закон движения подводной лодки. Найдем
;
или
Результаты совпали.
2.5 Материальная точка массой m отталкивается от центра силой, пропорциональной расстоянию (коэффициент пропорциональности mk2). Сопротивление среды пропорционально скорости движения (коэффициент пропорциональности 2mk1). В начальный момент точка находилась на расстоянии b от центра, и её скорость в этот момент равнялась нулю. Найти закон движения точки.
Решение
1.Расчетная схема
2
.
На точку М действуют силы:
;
.
3. Составим дифференциальное уравнение движения точки М в проекции на ось x:
.
4.
Решим дифференциальное уравнение. Так
как оно является нечетным, то прежде
составим характеристическое уравнение:
его корни действительные
.
Решение дифференциального уравнения
запишется:
.
Для нахождения с1
и с2,
определим
и запишем начальные условия:
;
;
;
;
.
Решим полученные
уравнения совместно:
;
;
;
;
,
таким образом,
,
где
.
3. Свободные колебания материальной точки
При решении задач на прямолинейные колебания материальной точки рекомендуется следующий алгоритм:
1) расчетная схема (по возможности упрощается физическая схема): изображается исследуемая материальная точка в выбранной системе координат в текущий момент времени;
2) указываются силы действующие на материальную точку;
3) составляется дифференциальное уравнение движения материальной точки;
4) решается полученное уравнение и находятся неизвестные
При решении задач, связанных с исследованием прямолинейных колебаний материальной точки, следует учитывать некоторые особенности составления расчетной схемы.
Если груз, грузы (материальная точка) прикреплены к нескольким пружинам, то на расчетной схеме рекомендуется изображать одну эквивалентную пружину и указать длину пружины в свободном, ненапряженном состоянии.
На расчетной схеме рекомендуется изображать три точки: начало координат рекомендуется выбирать в положении статического равновесия колеблющейся материальной точки (это может быть один груз или система грузов), начальное положение (определяется условием задачи) и текущее положение (любое направление на положительном направлении оси).