9.2. Основные приложения метода координат на плоскости
Расстояние между двумя точками
Требуется найти расстояние d между точками A(x1;y1) и В(х2;y2) плоскости Оху.
Решение: Искомое расстояние d равно длине вектора , т.е.
Деление отрезка в данном отношении
Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий точки A(x1;y1) и В(х2;y2) в заданном отношении λ > 0, т.е. найти координаты точки М(х;у) отрезка АВ такой, что (см. рис. 26).
Р ешение: Введем в рассмотрение векторы и . Точка Μ делит отрезок АВ в отношении λ, если
(9.1)
Но , т. е. и , т. е. .
Уравнение (9.1) принимает вид
Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем
Формулы (9.2) и (9.3) называются формулами деления отрезка в данном отношении. В частности, при λ = 1, т.е. если AM = MB, то они примут вид
, . В этом случае точка М(х;у) является серединой отрезка АВ.
Замечание: Если λ = 0, то это означает, что точки A и Μ совпадают, если λ < 0, то точка Μ лежит вне отрезка АВ — говорят, что точка M делит отрезок АВ внешним образом ( , т. к. в противном случае
, т. е. AM + MB = 0, т. е. АВ = 0).
Площадь треугольника
Т ребуется найти площадь треугольника ABC с вершинами А(x1;y1), В(х2,y2), С(x3;y3).
Решение: Опустим из вершин А, В, С перпендикуляры АА1, ВВ1, СС1 на ось Ох (см. рис. 27).
Очевидно, что
Поэтому
Замечание: Если при вычислении площади треугольника получим S = 0, то это означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.
9.3. Преобразование системы координат.
Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.
Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.
Параллельный перенос осей координат
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху. Под параллельным переносом осей координат понимают переход от системы координат Оху к новой системе О1х1у1, при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.
Пусть начало новой системы координат точка О1 имеет координаты (х0;y0) в старой системе координат Оху, т. е. О1 (х0;y0). Обозначим координаты произвольной точки Μ плоскости в системе Оху через (х;у), а в новой системе O1x1y1 через (х';у') (см. рис. 28).
Рассмотрим векторы
Следовательно,
Полученные формулы позволяют находить старые координаты x и у по известным новым х' и у' и наоборот.
Поворот осей координат
П од поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.
Пусть новая система O1x1y1 получена поворотом системы Оху на угол α.
Пусть Μ произвольная точка плоскости, (х;у) — ее координаты в старой системе и (х';у') — в новой системе.
Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и Οx1 (масштаб одинаков). Полярный радиус r в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны α + j и φ, где φ — полярный угол в новой полярной системе.
По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем
Но rcosj = х' и rsinφ = у'. Поэтому
Полученные формулы называются формулами поворота осей. Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольной точки Μ через новые координаты (х';у') этой же точки М, и наоборот.
Е сли новая система координат O1x1y1 получена из старой Оху путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол α (см. рис. 30), то путем введения вспомогательной системы легко получить формулы
выражающие старые координаты х и у произвольной точки через ее новые координаты х' и у'.
10.