18. Линейные однородные уравнения. Линейная зависимость решений. Вронскиан решений.

коэффициенты уравнения; непрерывны.

Краткая запись (1): . линейный оператор. .

Т.к. справа ноль, то уравнение однородное.

Свойства: 1. решение (1)

2. Линейная комбинация с любыми коэффициентами любых решений (1) – решение (1).

3. решение уравнения (1), такое, что .

Теорема 1: Пусть решения уравнения (1); Тогда линейно зависимы.

Доказательство:

Определитель этой системы –

Тогда существует нетривиальное решение. Выберем конкретное нетривиальное решение системы . По свойству 2 тоже решение. Выберем . Наше решение в точке удовлетворяет начальным условиям. С другой стороны, тоже удовлетворяет условию . По свойству 3 . Т. к. не все , то линейно зависимы, ЧТД.

Теорема 2. Пусть – решение (1). Тогда справедливо ровно 1 из следующих утверждений:

1.

2.

Доказательство: Обоснуем, что не может где-то , а где-то не равняться.

Пусть . Тогда линейно зависимы, т. е. линейно независимы.

От противного. Если бы были линейно зависимы, то по теореме из предыдущего вопроса .

Если бы то линейно зависимы. линейно зависимы. От противного. От противного.

19.Существование фундаментальной системы решений.

Определение: Фундаментальной системой решений (1) называется совокупность его линейно независимых решений.

Теорема 3. Для уравнения (1) существует фундаментальная система решений.

Доказательство: Возьмем числа . Потребуем, чтобы . Обозначим такие решения (1), для которых . По свойству 3 с любыми начальными условиями решение в существует. Тогда По теореме 2 линейно независимы, т.е. фундаментальная система решений.

Замечания:

1. Общего метода для нахождения фундаментальной системы решений не существует.

2. Каждое (1) имеет бесконечное количество фундаментальных систем решений.

3. Частный случай (1): когда – числа

20.Формула общего решения линейного однородного уравнения.

Теорема 5. Формула общего решения (1) имеет вид: (3) где – произвольные, принадлежащие числа, а – фундаментальная система решений.

Доказательство:

1. Формула (3) ничего, кроме решений (1) не содержит (т.к. линейная комбинация решений линейного уравнения – решение линейного уравнения).

2. К любому решению (1) из (3) можно придти. Пусть – любое конкретное решение (1). Выберем . начальное условие. С такими значениями производных в точке существует единственное решение (2) (т.е. ). Пусть – определитель системы, равный (для фундаментальной системы решений)

Т.е. решение (относительно ). Находим нужные . Тогда (3) – решения (1) с начальными условиями в точке и по соответствующему свойству , ЧТД.