84. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Метод Эйлера. Представление общего решения.

Решение дифференциального уравнения вида  или, короче,  будем искать в виде , где k = const.

  Т.к.   то

 При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.

  Для того, чтобы функция  являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы

 т.е.

  Т.к. e^kx ¹ 0, то  - это уравнение называется характеристическим уравнением. 

  Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение  имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения k_i соответствует решение дифференциального уравнения.

  В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.

Метод Эйлера. Рассмотрим дифференциальное уравнение           (1)

с начальным условием

Подставив в уравнение (1), получим значение производной в точке :

При малом  имеет место:

Обозначив  , перепишем последнее равенство в виде:          (2)

Принимая теперь за новую исходную точку, точно также получим:

В общем случае будем иметь:       (3)

Это и есть метод Эйлера. Величина  называется шагом интегрирования. Пользуясь этим методом, мы получаем приближенные значения у , так как производная  на самом деле не остается постоянной на промежутке длиной . Поэтому мы получаем ошибку в определении значения функции у , тем большую, чем больше . Метод Эйлера является простейшим методом численного интегрирования дифференциальных уравнений и систем. Его недостатки – малая точность и систематическое накопление ошибок.

85. Вид общего решения линейного однородного дифференциального уравнения для вещественных, комплексных и кратных корней характеристического уравнения.

Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых действительных корней

Рассмотрим уравнение  y'' - 3y' + 2y = 0. Его характеристическое уравнение  l² - 3l + 2 = 0 имеет два различных действительных корня  l₁ =1 и l₂ =2. Фундаментальная система решений уравнения: y₁ = exp(l₁x)=exp(x) и y₂ = exp(l₂x)=exp(2x) Общее решение уравнения: y(x) = c₁exp(x) + c₂exp(2x).

Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых комплексных корней

Рассмотрим уравнение y'' - 2y' + 5y = 0. Его характеристическое уравнение  l² - 2l + 5 = 0 имеет пару комплексно сопряженных корней  l₁ = 1-2i, l₂ = 1+ 2i. Фундаментальная система решений уравнения: exp(x)cos2x, exp(x)sin2x. Общее решение уравнения: y(x) = c₁exp(x)cos2x + c₂exp(x)sin2x.

Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных действительных корней

Рассмотрим уравнение y''- 2y' + y = 0. Его характеристическое уравнение l² - 2l + 1 = 0 имеет один кратный действительный корень l₁ = l₂ = 1. Фундаментальная система решений уравнения:  y₁ = exp(x) и y₂= xexp(x) Общее решение уравнения: y(x) = c₁exp(x) + c₂xexp(x).