8.2. Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть определена и интегрируема на . Будем считать, что и ее график выше оси .

О

пределение: Фигуру, ограниченную сверху кривой , снизу осью , а с боков прямыми называют криволинейной трапецией.

Разобьем отрезок на п частичных отрезков точками . Длину i-го отрезка мы обозначали . Возьмем точку и вычислим значение функции . На каждом частичном отрезке построим прямоугольник с высотой и основанием Мы получим ступенчатую фигуру. Площадь i-го прямоугольника равна: .А сумма площадей всех прямоугольников равна площади ступенчатой фигуры равна:

. Положим . Если то фигура все меньше и меньше будет отличаться от криволинейной трапеции и в пределе сольется с ней.

Определение: За величину площади S криволинейной трапеции принимают предел переменной площади при , т.е.

А это и есть по определению определенный интеграл.

Таким образом, геометрический смысл определенного интеграла в том, что он равен площади криволинейной трапеции.

Теорема 1.(необходимое условие существования определенного интеграла). Если функция интегрируема на то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2. (достаточное условие). Если функция непрерывна на отрезке за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва I рода, то она интегрируема на этом отрезе.

8.3. Свойства определенного интеграла

Мы ввели понятие интеграла, если , то существует.

1. Если , то . При перемене местами пределов интегрирования интеграл меняет знак на противоположный.

2. 

3. Пусть - три точки на числовой оси. Рассмотрим три отрезка:

. Первый отрезок является суммой двух. Имеет место свойство: если функция интегрируема на большем из трёх отрезков, то она интегрируема и на каждом из двух меньших отрезков.

Обратно: Если функция интегрируема на каждом из двух меньших отрезках, то она интегрируема и на большом отрезке. При этом, при любом расположении точек на оси справедливо равенство:

4) Если интегрируема на то функция также интегрируема на причем

Доказательство. Разобьем отрезок на частичных отрезков длиной . Возьмем точки и функцию Составим интегральную сумму для функции Положим и перейдем в равенстве к пределу при

По условию, предел справа существует, следовательно и существует предел слева и по определению интегралов имеем: Доказано.

5) Если интегрируема на то функция также интегрируема на этом отрезке, причем

6) Если интегрируема на и неотрицательна на нём, то

Доказательство: Запишем интегрируемую сумму для на т.к. это длина отрезка.

Значит сумма Переходя к получаем . Доказано.

7) Если интегрируемы на и , то на этом отрезке (т.е. неравенства можно почленно интегрировать).

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательную функцию: т.к то На основании свойства (6): или Доказано.

8) Если интегрируема на отрезке то функция также интегрируема на этом отрезке, при чем

9) Теорема об оценке определенного интеграла. Если интегрируема на и существуют числа т, М такие что то справедливо неравенство:

Доказательство. Запишем интегрируемую сумму для на Т.к. по условию то Умножим последнее неравенство на

Просуммируем двойное неравенство почленно: Но Аналогично,

Получаем: Переходя к пределу при или получим в середине интеграл: Теорема доказана.

10) Теорема о среднем значении определенного интеграла. Если функция непрерывна на , то между точками найдется такая точка с:

Доказательство. Функция непрерывна на , интегрируема на кроме того, по теореме Вейерштрасса, непрерывная на функция, достигает на нем свои наибольшие и наименьшие значения Тогда для любого будет выполнятся неравенство На основании свойства (9) можем написать

Все неравенство разделим на

Обозначим тогда т.е. число находится внутри Тогда по теореме Коши непрерывная на функция принимает все свои промежуточные значения. Значит, найдется значение функции Теорема доказана.

Г

еометрический смысл. Теорема о среднем состоит в том, что существует прямоугольник, площадь которого равна площади криволинейной трапеции.

11) Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, а зависит лишь от вида подынтегральной функции и пределов интегрирования: