Матрица перехода

Координаты вектора   в базисе   -- это коэффициенты разложения вектора  по базису   , где   .

Пусть даны два базиса   и   , причем   ,  ,   .

Определение. Матрица

 -ый столбец которой составлен из координат вектора   в базисе   , называетсяматрицей перехода от базиса   к   . Имеем   .

Лемма. Пусть   -- базис, а   и   -- матрицы размера   над полем   , причем  . Тогда   .

Теорема.   Матрица перехода   от базиса   к   невырождена.

 Для любого базиса   и любой невырожденной квадратной матрицы   порядка  существует и при том единственный базис   с матрицей перехода   , т.е.   .

Теорема. Если   -- матрица перехода от базиса   к   , то для любого вектора  справедливо равенство   , где   и   -- столбцы координат вектора   в базисах  и   соответственно, т.е.   .

Определение. Биекция   линейного пространства   над полем   на линейное пространство  над полем   называется изоморфизмом линейных пространств, если  для любых векторов   и   .

Следствие. Справедливы равенства   ,   и   . Если система   линейна независима, то система   тоже линейна независима. Отображение   -- изоморфизм.

Определение. Два линейных пространства называются изоморфными, если существует изоморфизм одного пространства на другое.

Теорема. Два конечномерных пространства над полем   изоморфны тогда и только тогда, когда   .

Следствие. Любое   -мерное векторное пространство   изоморфно   . Отображение  определено так:   . 

30)

Определение

Пусть G — заданная группа и W — векторное пространство. Тогда представление группы G — это отображение, ставящее в соответствие каждому элементу   невырожденное линейное преобразование   причем выполняются свойства

Раздел математики, который изучает представления групп, называется теорией представлений (групп). Представление можно понимать как запись группы с помощью матриц или преобразований линейного пространства. Смысл использования представлений групп заключается в том, что задачи из теории групп сводятся к более наглядным задачам из линейной алгебры. Этим объясняется большая роль теории представлений в различных вопросах алгебры и других разделов математики. Например, одномерные представления симметрической группы S_n и знакопеременной группы A_n играют большую роль при доказательстве невозможности разрешения в радикалах алгебраического уравнения степени выше 4. В квантовой механике важную роль играют бесконечномерные (в которых векторное пространство — гильбертово) представления групп (в первую очередь, группы Лоренца).

Матрица линейного преобразования

В   примере 19.4 было показано, что преобразование   -мерного пространства, заключающееся в умножении координатных столбцов векторов на фиксированную матрицу, является линейным преобразованием. В этом разделе мы покажем, что все линейные преобразования конечномерного пространства устроены таким же образом. Пусть    --   -мерное линейное пространство, в котором задан базис  ,    -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор   . Пусть    -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора  обозначим   . Запишем разложение вектора   по базису пространства  . Для образа этого вектора получим  ( 19 .2) Векторы   имеют какие-то координатные столбцы, обозначим их   ,   , ...,   соответственно. В этой записи первый индекс показывает номер координаты, а второй индекс -- номер вектора. Соответственно,   Подставим это выражение в равенство ( 19.2 ) и, используя   предложение 14.3 , изменим порядок суммирования  Это равенство означает, что   -той координатой вектора   служит   . Составим матрицу   из координатных столбцов векторов   , ...,   Вычислим произведение матрицы   на столбец   Мы видим, что   -ый элемент столбца совпадает с   -ой координатой вектора   . Поэтому   ( 19 .3) Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора. Матрица   называется матрицей линейного преобразования   . Еще раз напомним, как она составлена: первый столбец является координатным столбцом образа первого базисного вектора, второй столбец -- координатным столбцом образа второго базисного вектора и т.д.         Пример 19 . 5   Найдем матрицу линейного преобразования   из   примера 19.1 . Выберем какой-нибудь базис   . Тогда  Следовательно, первый столбец матрицы   имеет вид  . Аналогично   Второй столбец матрицы   имеет вид   . В итоге                    Пример 19 . 6   Найдем матрицу линейного преобразования   из   примера 19.2 . Угол   возьмем равным   . В качестве базиса возьмем привычный ортонормированный базис i , j . Из рисунка 19.7 видно, что вектор   имеет координаты   и   .  Рис. 19 . 7 .Координаты образов базисных векторов при преобразовании поворота Поэтому координатный столбец образа первого базисного вектора имеет вид   . Координаты образа второго базисного вектора равны   и   , его координатный столбец имеет вид  . В итоге получаем, что в базисе i , j матрица поворота на угол   имеет вид            

31)

Характеристический многочлен матрицы — это многочлен, определяющий её собственные значения.