Подпространство

Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество K линейного пространства L такое, что K само является линейным пространством по отношению к определенным в L действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как Lat(L). Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

• ;

• для всякого вектора  , вектор   также принадлежал K, при любом  ;

• для всяких векторов  , вектор   также принадлежал K.

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

• для всяких векторов  , вектор   также принадлежал K для любых  .

В частности, пространство, состоящее из одного элемента {θ}, является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.

[Править]Свойства подпространств

• Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;

• Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств   определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов K_i:

.

В функциональном анализе в бесконечномерных пространствах особо выделяют замкнутые подпространства.

Векторное пространство Определение

Определение 1. Пусть   — некоторое поле. Абелева группа¹⁾   называется векторным пространством²⁾, или линейным пространством³⁾ над полем  , если задано отображение  , удовлетворяющее условиям:

1.  для всех  ;

2.  для всех  ;

3.  для всех  ;

4.  для всех  .

При этом элементы пространства   называются векторами⁴⁾, а операция   — умножением на скаляр.

Замечание 1. Данное определение можно переформулировать в терминах модулей: левый унитарный модуль   над полем   называется векторным пространством. Кроме того, в некоммутативной алгебре под векторным пространством понимают более широкий класс модулей, сохраняющий все основные свойства векторных пространств в их классическом понимании: левый унитарный модуль   над телом   называется векторным пространством.

Пример 1. Нульмерное векторное пространство   состоит из одного элемента:  .

Пример 2.  -мерное координатное пространство над полем   представляет собой декартово произведение   множителей  . Элементы   записываются в виде векторов-строк  ⁵⁾. Операции сложения и умножения на скаляр определены покоординатно:

, .

Нулевым элементом является вектор  , противоположным для   служит вектор-строка  .

Пример 3. Множество   функций, определенных на отрезке   и интегрируемых на нем по Лебегу, с поточечной операцией сложения  ,   является векторным пространством над полем действительных чисел.

Пример 4. Пусть  . Введем на   операцию   по правилу   и операцию умножения на скаляр   по правилу  . Нетрудно проверить, что   с указанными операциями является векторным пространством над полем  . Нейтральным элементом служит  .

Подпространство векторного пространства

Определение 2. Непустое множество векторов   векторного пространства   называется линейным подпространством⁶⁾, если:

1.  для любых векторов  ;

2.  для всех  .

Определение 3. Коразмерностью⁷⁾ линейного подпространства   называется разность  .

Определение 4. Подпространство, коразмерность которого равна 1, называется гиперплоскостью⁸⁾.

     Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.

     Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

     Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения   образуют нормированную фундаментальную систему.

     В линейном пространстве   множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r;   - базис этого подпространства.

29)

Связь между базами. Объектом изучения являются для нас конечномерные линейные пространства. Понятно, что, изучая n-мер­ные линейные пространства, мы по существу изучаем то n-мерное векторное пространство строк, которое было введено еще в гл. 2. Однако раньше в этом пространстве была выделена одна база - а именно база, составленная из единичных векторов, т. е. векторов, у которых одна координата равна единице, а все остальные координаты равны нулю, - и все векторы пространства задавались строками их координат в этой базе; теперь же все базы пространства являются для нас равноправными.

Посмотрим, как много баз можно найти в n-мерном линейном пространстве и как эти базы связаны друг с другом.

Пусть в n-мерном линейном пространстве V заданы базы

e₁, e₂,…, e_n                                                (4)

и

e₁’, e₂’,…, e_n’                                               (5)

Каждый вектор базы (5), как и всякий вектор пространства V, однозначно записывается через базу (4),

               i=1, 2, ... , п.      (6)

Матрица

строки которой являются строками координат векторов (5) в базе (4), называется матрицей перехода от базы (4) к базе (5).

Связь между базами (4) и (5) и матрицей перехода Т можно записать, ввиду (6), в виде матричного равенства

                                          (7)

или, обозначая базы (4) и (5), записанные в столбец, соответственно через е и е', в виде

е'=Те.

С другой стороны, если Т' — матрица перехода от базы (5) к базе (4), то

e=T’e’                                                                      

Отсюда

e=(Т’Т)e’,                                                 

e’=(ТТ’)e                                                  

т. е., ввиду линейной независимости баз е и е',

Т'Т=ТТ'=Е,

откуда

T’=T^-1

Этим доказано, что матрица перехода от одной базы к другой всегда является невырожденной матрицей.

Всякая невырожденная квадратная матрица порядка п с действительными элементами служит матрицей перехода от данной базы п-мерного действительного линейного пространства к некоторой другой базе.

Пусть, в самом деле, дана база (4) и невырожденная матрица Т порядка п. Возьмем в качестве (5) систему векторов, для которых строки матрицы Т служат строками координат в базе (4); имеет место, следовательно, равенство (7). Векторы (5) линейно незави­симы— линейная зависимость между ними влекла бы за собой линейную зависимость строк матрицы Т в противоречие с ее невырожденностью. Поэтому система (5), как линейно независимая система, состоящая из п векторов, является базой нашего простран­ства, а матрица Т служит матрицей перехода от базы (4) к базе (5).

Мы видим, что в n-мерном линейном пространстве можно найти столь же много различных баз, как много существует различных невырожденных квадратных матриц порядка п. Правда, при этом две базы, состоящие из одних и тех же векторов, но записанных в различном порядке, считаются различными.

Ма́трицей перехо́да от базиса   к базису   является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов   в базисе  .

Обозначается